2016-08-15
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数学故事残杀战俘
残杀战俘是一个古老的数学故事。
在一次战争中,64名战士被俘虏了。敌人命令他们拍成一个圆圈,编上1、2、3、464的号码,然后,从1号开始残杀,接着是3号、5号隔一个杀一个,这样转着圈杀,最后剩下的一个人,这个人就是约瑟夫斯。请问:约瑟夫斯是多少号?
让我们来看一看:敌人从1号开始,隔一个杀一个,这就是说第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号,而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。
第一圈剩下的全部是偶数号2、4、6、864。因为先前的64名战士已经被杀害了一半,所以现在剩下的人是64除以2,共32人,他们重新编的号码是1、2、3、432。而第二圈杀过之后,又把这一次编成的奇数号码的战士全都杀掉了,还剩下16个人。这样一直到最后,剩下的必然是一开始的64号,所以,答案是:约瑟夫斯是64号。
小学经典数学故事《残杀战俘》:如果有65名战士被俘,敌人还是按上述方法残杀战士,那最后剩下的还会是64号约瑟夫斯吗?
答案是:不是了。因为第一个人被杀后,也就是1号被杀后,第二个被杀的必然是3号,如果把1号排除在外,那么剩下的仍然是64个人,新1号就是原来的3号,这样原来的2号就变成了新的64号了,所以剩下的必然是原来的2号。
再把问题改一下:不让被俘的战士站成圆圈,而站成一条直线,然后编上号码。从1号开始,隔一个杀一个,杀过一遍之后,然后再重新编号,从新1号开始,在隔一个杀一个,问最后剩下的还是64号约瑟夫斯吗?
答案为:是。
如果战俘人数是65人呢?这回剩下的还是约瑟夫斯。只要人不超过128人,那么最后剩下的总是约瑟夫斯。因为从1到128中间,能被2整除次数最多的就是64。而敌人每次都是杀奇数号,留偶数号,所以64号总是最后被留下的人。
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