2015年高考就要到了，小编在这里为考生们精选准备了2015名师剖析高考数学易错题及解析，供大家参考学习，希望对大家有所帮助!

● 忽视等价性变形，导致错误。

，但 与 不等价。

【例1】已知f(x) = ax + ，若

求

的范围。

错误解法 由条件得

②×2-①

①×2-②得

+

得

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数

，其值是同时受

制约的。当

取最大(小)值时，

不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法 由题意有

, 解得：

把

和

的范围代入得

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】

(1) 设

是方程

的两个实根，则

的最小值是

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到

，常受选择答案(A)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根

，∴

T

当

时，

的最小值是8;

当

时，

的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有(B)正确。

(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。

错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+

)2+

，

∴当x=-时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(-∞, ]。

分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+ =1 T (x+2)2=1- ≤1 T -3≤x≤-1，

从而当x=-1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数-1≤sinx≤1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。

错解 (a+

)2+(b+

)2=a2+b2+

+

+4≥2ab+

+4≥4

+4=8,

∴(a+

)2+(b+

)2的最小值是8.

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

,第二次等号成立的条件是ab=

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

事实上，原式= a2+b2+

+

+4=( a2+b2)+(

+

)+4=[(a+b)2-2ab]+[(

+

)2-

]+4

= (1-2ab)(1+

)+4，

由ab≤(

)2=

得：1-2ab≥1-

=

, 且

≥16，1+

≥17，

∴原式≥

×17+4=

(当且仅当a=b=

时，等号成立)，

∴(a +

)2 + (b +

)2的最小值是。

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列

的前

项和

，求

错误解法

错误分析 显然，当

时，

。

错误原因：没有注意公式

成立的条件是。

因此在运用

时，必须检验

时的情形。即：

。

(2)实数

为何值时，圆

与抛物线

有两个公共点。

错误解法 将圆

与抛物线

联立，消去

，

得

①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得

， 解之得

错误分析 (如图2-2-1;2-2-2)显然，当

时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得

解之，得

因此，当

或

时，圆

与抛物线

有两个公共点。

思考题：实数

为何值时，圆

与抛物线

，

(1) 有一个公共点;(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列

的全

项和为

.若

，求数列的公比

.

错误解法

，

。

错误分析 在错解中，由

，

时，应有

。

在等比数列中，

是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比

的情况，再在

的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若

，则有

但

，即得

与题设矛盾，故

.

又依题意

T

T

,即

因为

，所以

所以

解得

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第(21)题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点

的直线，使它与抛物线

仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点

的直线为

，则它与抛物线的交点为

，消去

得

整理得

直线与抛物线仅有一个交点，

解得

所求直线为

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为

时，没有考虑

与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即

而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直

轴，因为过点

，所以

即

轴，它正好与抛物线

相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行

轴，它正好与抛物线

只有一个交点。

③一般地，设所求的过点

的直线为

,则

，

令

解得k = ,∴ 所求直线为

综上，满足条件的直线为：

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