2016-05-03 收藏
下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的新编初三下册数学知识点归纳,希望可以帮助到同学们!
二次函数及其图像
二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式
y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b2)/4a) ;
顶点式
y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;
重要概念:a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量,y是x的二次函数
x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)(如右图)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。
2画出对称轴,并注明X=什么
3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质
轴对称
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当= b^2;-4ac=0时,P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab 0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
抛物线与x轴交点个数
6.抛物线与x轴交点个数
= b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。
= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
= b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bb^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b在{x|x-b/2a}上是减函数,在
{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
二次函数的性质
8.定义域:R
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,
正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数。
周期性:无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a0
⑵a0,则抛物线开口朝上;a0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
⑷=b^2-4ac,
0,图象与x轴交于两点:
([-b-]/2a,0)和([-b+]/2a,0);
=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)
对称轴X=(X1+X2)/2 当a0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a0且X≦(X1+X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
26.2 用函数观点看一元二次方程
1. 如果抛物线 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 ,那么当 时,函数的值是0,因此 就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
26.3 实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
由精品小编整理的新编初三下册数学知识点归纳就到这里了,希望同学们喜欢!
北师大版二下《买鲜花(一)》同步测试题
北师大版二下《小小图书馆(二)》同步试题
北师大版二下《租船(二)》同步试题
人教课标二年下两位数加、减两位数及答案
北师大版二下《买鲜花(二)》同步测试题
西师大版数学二年级下册第二单元练习
苏教版数学二下第八单元《乘法》word测试卷
北师大版二下《买鲜花》同步测试题
北师大版二下《派车》同步试题
人教课标二年下解决问题(四)
北师大版二下《比一比(二)》同步试题
北师大版二下《买鲜花(三)》同步测试题
人教课标二年下锐角和钝角(二)
北师大版二下《分草莓》同步测试题
苏教版数学二下第二单元《认数》试卷
北师大版二下《比一比》同步试题
人教课标二年下万以内数的认识及答案(一)
北师大版二下《认识角》同步试题
人教课标二年下整百、整千数加减法及答案(二)
西师大版数学二年级下册第四单元练习
北师大版二下《买电器(二)》同步测试题
北师大版二下《比一比(一)》同步试题
北师大版二下《小小图书馆(三)》同步试题
北师大版二下《分苹果》同步测试题
人教课标二年下解决问题(一)
人教课标二年下平均分
北师大版二下《比一比(三)》同步试题
北师大版二下《有余数除法》单元测试卷
人教课标二年下解决问题(表内除法)及答案(六)
人教课标二年下克和千克及答案(四)
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |