定义

增根(extraneous root )，在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根

产生增根的来源

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

(1)分式方程(2)无理方程

(3)非函数方程

分式方程增根介绍

在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根

例： x/(x-2)-2/(x-2)=0

解：去分母，x-2=0

x=2

但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。

例如: 设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

非函数方程增根介绍

在两非函数方程(如圆锥曲线)联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。

例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。

存在一种解法：

椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1

(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)

因为有两个根，所以△>0

∴△=(2b^2-a^2)>0

∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根号二)

而正解却是

由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2

∴0

∴(1/2)^(1/2)

然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2)^(1/2)，好像△永远都>0

于是我们取e=1/2

假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1

即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

与圆x^2+y^2-2x=0···②

联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

有十字相乘 x1=2 x2=6

显然 此时 x2=6是增根

将x2=6 带入①式 y^2= -24

将x2=6 带入②式 y^2= -24

将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。

不过值得注意的是：

①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生曾根。

②增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域(-2，2) ②式定义域(0，2)大多数人是在②式中，用x表示y，写成y=ax-x^2，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带入②式，我们依然会得到增根。

下面列出两种必然会出现增根的一般式：

①椭圆与抛物线

椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。(另外我们还知道|x1|<|x2|)

②双曲线与抛物线

双曲线(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。(另外我们还知道|x1|>|x2|)

无理数方程增根介绍

√ (2X^2-X-12)=X

解：两边平方得2X^2-X-12=X^2

得X^2-X-12=0

得X=4或X=-3(增根)

出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中体现

如何求增根

解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。

1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x，变形成x(x-2)=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

还可以把x代入最简公分母也可。

增根是不可忽视性

许多人解方程时，得到了增根，比如说能量是负值，一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关，即E2=p2+m2(p为动量，m为粒子的质量)，解得E=±(p2+m2)^½,你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随便丢掉。

后来事实证明，第二个根，也就是为负的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子，也有反粒子。负能量就是用来解释反粒子的。