2016-03-22
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曹操获得一头大象,与大家一边看一边议论,“大象到底有多重呢?”由于当时没有这么大的秤杆,没有先进的仪器,这就成了一个问题,一个非常规应用问题.
存在不同水平的“问题解决”.有人提议把大象宰了,一块一块地称,这是一种“化整为零”的策略,重量虽然出来了,但珍贵的大象却不复存在了.曹操的儿子曹冲才7岁,他提出一个聪明的办法:先把大象赶到一艘大船上,看船身下沉多少,就沿着水面,在船舷上画一条线.然后,把大象赶上岸,往船上装石头,直至船下沉到画线的地方为止.最后,称一称船上的石头,石头有多重,就知道大象有多重了.
理解曹冲方案需要物理知识(没有物理知识作保证,不能保证石头与大象等重,难保不会出现“刻舟求剑”的错误),下面的分析不涉及物理定律,纯粹数学教育的视角.
第2、问题解决的分析.
我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤:(解题过程的结构分析)
(1)把“整体”的大象对应为等价物:“零散”的石头(映射--化整为零);
(2)称一小块一小块石头,得出大象的重量(逆映射--集零为整).
一头大象————一堆石块
?↓
大象重量————称出石块总重量
图1
请注意,曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法,与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性,曹冲的聪明之处在于,既从别人的不成功想法中吸取了合理成分,又用等价物代替大象.(思维亮点:通过物理知识找出等价物)
第3、反思曹冲方案.
曹冲方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”,这当中若有一次大象不愿走动,那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的.大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?
就此,笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话.
教师:假如我们这块地方是个平原,一马平川全是黄土,没有石头,你怎么办?(把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不是唯一的)
学生:那我就把黄土挑上船,直至船沉到画线的地方,然后称黄土的重量.(用水也可以)
教师:挑黄土上船、下船,既费工又费时,有没有既省工又省时的更简单办法?(寻找更方便的等价物)
学生:用电子秤直接称大象.
教师:这不行,不能改变当时的技术条件.
学生:组织围观的人代替黄土,让人自己走上船、自己走下船过秤,既省工又省时,要不,赶一群羊上船也可以.
第4、反思的启示.
这个办法确实比曹冲的强.由此,可以得出3个结论:
(1)即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间.
(2)即使是对小学生作解题过程的分析与启引,也能开发出解题智慧来.
(3)找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径.在曹冲方案中,“大象自己上船、下船”本已存在,只不过是在使用石头等价物时被浪费了,“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”.
(罗增儒:从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的改进,中学数学教学参考,2000,9)
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