2013-05-07
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走路也谈优化 来自查字典数学网资料整理
现在有这样一个问题:
父亲带两个儿子去看祖母。两家距离30千米,父亲有一台摩托车,但每次只能载一人,已知摩托车的速度是50千米/小时,两个儿子的速度都是5千米/小时,问三人至少要花多少时间才可以到达?
一般认为有两种方案,一个很差的方案和一个节约时间的方案。我们称两个儿子为甲和乙。
方案1:父亲先载甲到祖母家,然后倒回来接乙。这种情况的话,摩托车就等于是跑了3×30=90千米,所需要的时间就是90/50=1.8小时。
显然这种方案是不好的,乙整个都什么都没干,要想达到最优化,那就乙也要运动起来,那么就有第二种方案
方案2:仍然是父亲载甲到祖母家,不过在这个过程中,乙也向目的地出发。这种情况下,父亲载甲到达目的地所花的时间为30/50=0.6小时。在这一段时间里乙行走了5×0.6=3千米;那么父亲倒回来和乙相遇所用的时间就为(30-3)/(50-5)≈0.49小时,那么父亲再将乙载到目的地也需要0.49小时的时间,所以总共花的时间就是0.6+0.49+0.49=1.58小时。
那么,还有更节约时间的方案么?有,那就是在整个过程中,每个人都不要休息,因为在方案二中,虽然乙的能动性是完全发挥了,不过在父亲返回接乙的时候,甲却是在祖母家休息,能不能让甲也走段路,来为我们的优化贡献点力量呢?那么就有我们的最佳方案3:
方案3:设父亲先载甲前进x米,需要时间x/50小时,在这个过程中,乙是然后甲走路到祖母家,父亲返回接乙。这个时候父亲和乙的距离为x-x/50×5=0.9x。父亲返回接乙,需要花费0.9x/(50+5)=9x/550小时和乙相遇。此时乙一共走了(x/50+9x/550)×5=2x/11千米。由于乙的速度和甲是一样的,根据对称性,甲走的路程应该和乙相等才能保证三个人一起到达祖母家。也就是30-x=2x/11,解得x=330/13千米。从甲的角度计算时间,整个过程需要的时间就是x/50+(30-x)/5≈1.43小时。
看来,所谓的最优化,那就是实现资源的充分利用。而充分利用资源的方法,并不是让优势资源发挥更大潜力,而是让不同资源得到适当地配置,否则也达不到最优化,就如第一种方案,摩托车的能效是发挥到极致了,但并不表示整个过程就是极致。就好像我们如今,一味地将本已经发展得很好的地区使劲地发展,落后的地区还是老样儿……
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