九连环与格雷码　由查字典数学网资料整理

分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。

第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

00000-00000-0-00000

10000-00001-1-00001

11000-00011-2-00010

01000-00010-3-00011

01100-00110-4-00100

11100-00111-5-00101

10100-00101-6-00110

00100-00100-7-00111

00110-01100-8-01000

10110-01101-9-01001

11110-01111-10-01010

01110-01110-11-01011

01010-01010-12-01100

11010-01011-13-01101

10010-01001-14-01110

00010-01000-15-01111

00011-11000-16-10000

10011-11001-17-10001

11011-11011-18-10010

01011-11010-19-10011

01111-11110-20-10100

11111-11111-21-10101

我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是

10111-11101-22-10110

00111-11100-23-10111

00101-10100-24-11000

10101-10101-25-11001

11101-10111-26-11010

01101-10110-27-11011

01001-10010-28-11100

11001-10011-29-11101

10001-10001-30-11110

00001-10000-31-11111

这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变;如果是1，该数字改变(0变为1，1变为0)。例，二进制数11011的格雷码是10110.

由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变;如果是奇数，该数字改变。

例 格雷码11011表示为二进制数是10010.

以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?

解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326-141=186，完整解法需要186步。

简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，

对于N=141，得到N0=103;对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在九连环电脑游戏上验证。