2015-12-28
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7.由合数想
例1 能被十个最小自然数整除的最小四位数是( )。
这个合数,一定是三个合数和一个质数的乘积。
例2 1989×20002000—2000×
19891989=( )
合数的20002000和19891989,有相同的质因数。
原式=1989×(2000×10001)
-2000×(1989×10001)=0。
例3 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题第一试7题:在下面的算式中,所有分母都是四位数。请在每个方格里各填入一个数,使等式成立。
由式右的分子为1,知式左的两个分数相加的和可约分。若是同分母分数相加约分后,式右的分母不可是四位数,只能是异分母。
从分析合数1988入手:
(1)1988=4×7×71。1988是4的倍数,如果式左两个分数的分子之和为4,则可约成分子是1的最简分数。
(2)由4×7=28,28+43=71,知
例4 最大公约数是1,两两均不互质,且大于50而小于100的三个数是( )、( )、( )。
解答此题,需综合应用合数、质数、互质数、质因数、公有质因数、最大公约数等概念。取三个两两互质的数,且它们两两之积大于50、小于100,得五组解:
7、8、9得56、63、72;
7、8、11得56、77、88;
7、9、10得63、70、90;
7、9、11得63、77、99;
8、9、11得72、88、99。
所取三数之间相互互质,其两两之积的三个数定无公有的质因数,最大公约数是1;每组的三个数都是两两的积,其两两之间必有相同的质因数。
8.由质因数想
例1 649被某数除,所得的商与除数相同,余数比除数少1,余数是( )。
因为 649+1=650=2×52×13=25×26,
而 649=25×26—1
=25×(25+1)-1
=25×25+24,
即 649÷25=25余数是24。
例2 三姐妹的年龄依次大3岁,其积是1620,其和是( )。
1620=22×34×5
=32×(22×3)×(3×5)
=9×12×15,
9+12+15=36。
例3 a、b、c、d是四个由小到大的自然数,其积是585,要使其和最小各是( )。
由 585=3×3×5×13,知
a=1,b=5,c=9,d=13。
例4 四个自然数的积是144,这四个数可组成比例式()。
144=24×32=(2×6)×(3×4)。
由比例的基本性质,知
2∶3=4∶6,2∶4=3∶6,
6∶3=4∶2,3∶2=6∶4。
例5 把14、30、33、35、39、75、143、169分成两组,每组四个数,使它们的乘积相等( ),( )。
14=2×7 39=3×13
30=2×3×5 75=3×5×5
33=3×11 143=11×13
35=5×7 169=13×13
将相同质因数分属两组,配平于两个积中。
14×33×75×169=2×32×52×7×11×132,
30×35×39×143=2×32×52×7×11×132。
例6 从1到30的自然数中,能被2、3、5整除的各有( )、( )、( )个。不能被其中任意一个整除的有( )个。
30=2×3×5。
前三个空应依次填:3×5=15,
2×5=10,2×3=6。
1~30中有十个质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。去掉前三个加上1。最后空为8。
例7 715×972×975×( ),要使其积的最后四个数字都是0,括号内最小应填什么数?
乘积后面每含一个0,其乘数中必含质因数2和5各一个。
715=5×11×13, 972=22×35,975=3×52。
这些数中共含三个“5”、两个“2”,构成四对2和5,需补足两个“2”和一个“5”。
应填2×2×5=20。
例8 四个连续自然数的积是5040,这四个数是( )、( )、( )、( )。
5040=24×32×5×7
=7×23×32×(2×5),
所求为 7、8、9、10。
( )。
105=3×5×7,
512=23×23×23。
例10 长、宽、高之比是3∶2∶5的长方体体积为1920cm3,长宽高各是( )、( )、( )cm。
1920=27×3×5
=(22×3)×23×(22×5)。
应填12、8、20。
9.巧用最大公约数
例1 224、292、377、496分别被( )除,余数都相同。
292-224=68 377—224=153 496—224=272即后三个数,分别被第一个数除商为1,余数是68、153、272。
(68,153,272)=17,
224÷17=13……3。
四个数分别被17除,余数都是3。
例2 在一块边长为104m、240m、152m的三角形地周围栽树,株距相等,各角栽1棵。最少可栽( )棵。
株距相等,是各边长的公约数。株数最少,株距必最大,应为最大公约数。
(104,240,152)=8
(104+240+152)÷8=62(棵)
例3 把长144cm、宽48cm、高32cm的长方体,锯成尽可能大的同样大小的正方体。正方体的棱长( )cm,个数( )。
(144,48,32)=16(cm)
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