2015-12-28
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在计算角的度数时常常用到以下知识:平角的度数是180°;周角的度数是360°;直角的度数是90°;三角形的内角和等于180°;等腰三角形的两个底角相等;直角三角形中两个锐角的和等于90°;等边三角形的每个内角等于60°.
下面我们学习如何计算角的度数.
例1 如图6—1,求∠1,∠2,∠3的度数.
分析:因为∠1与130°的和
是一个平角,用180°减去130°就是∠1的度数;利用直角三角形中两个锐角和等于90°,再由前面得出的∠1的度数,可以求出∠2的度数;∠2与∠3的和是180°,由此得到∠3的度数.
解:∠1=180°-130°=50°
∠2=90°-∠1=90°-50°=40°
∠3=180°-∠2=180°-40°=140°
例2 如图6—2,已知∠c=25°,ad=db=bc,求∠ade的度数.
分析:要求∠ade的度数,只须求∠adc的度数,因为bd=bc,所以∠bdc=∠c,根据三角形内角和等于180°,可以求出∠dbc的度数,由于∠dbc与∠abd的和是180°,所以∠abd的度数可以求出,又因为ad=db,所以∠bad=∠abd,再利用三角形内角和等于180°,得到∠adb的度数,最终求出∠ade的度数.
解:因为db=bc
所以∠bdc=∠c=25°
在△bdc中,
∠dbc=180°-∠c-∠bdc=180°-25°-25°=130°
又因为∠abd+∠dbc=180°
所以∠abd=180°-∠dbc=180°-130°=50°
因为ad=db
所以∠dab=∠abd=50°
在△adb中
∠adb=180°-∠dab-∠abd=180°-50°-50°=80°
所以∠adc=adb+∠bdc=80°+25°=105°
∠ade=180°-∠adc=180°-105°=75°
说明:∠ade=∠dab+∠c,这并不是偶然的巧合,而是因为∠ade与∠adc的和是180°,∠adc与∠c及∠dab的和也是180°,所以∠ade等于∠c+∠dab.∠ade叫做△adc的一个外角,由此得出一个重要的结论:三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.如图6—3中,∠dac、∠abe、∠acf都分别叫三角形abc的外角,而
∠dac=∠abc+∠acb
∠abe=∠bac+∠acb
∠acf=∠abc+∠cab
例3 如图6—4,已知:∠acb=3∠a=6∠b,de⊥ab,求∠d的度数.
分析:在△abc中,由∠a、∠b、∠acb的关系及它们的和等于180°,可以得出∠b的度数,在直角三形deb中,∠d与∠b的和是90°,可以得出∠d的度数.
解:在△abc中
∠a+∠b+∠acb=180°
因为3∠a=6∠b,所以∠a=2∠b,又∠acb=6∠b,所以2∠b+∠b+6∠b=180°
9∠b=180°
∠b=20°
在直角三角形deb中,
因为∠d+∠b=90°
所以∠d=90°-∠b=90°-20°=70°.
例4 同样大小的12个正方形,如图6—5那样排列起来,∠abc是多少度?
分析:要求∠abc的度数,似乎无从下手,但仔细观察图形特点,如果将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°,如图6—6,点d移到点e,ab与ac重合,得到△abc是直角三角形,并且ab=ac,这样容易求出∠abc的度数.
解:将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°,则△abd与△ace重合,即△abc是直角三角形,且ab=ac,所以∠abc=∠acb=45°.
例5 将正方形abcd对半折叠后,折线为ef,如图6—7,将b点利用折线移到ef上,折线为cp,求∠1、∠2的度数.
分析:以cp为折线折叠后点b移到点m,如图6—8,以ef为折线折叠后,点b与c重合,所以mb=mc,又因为以cp为折线折叠后,点b与m重合,所以bc=mc,∠1=∠3,于是由mb=mc=bc知,△mbc是等边三角形,所以∠1+∠3=60°,可以求出∠1的度数.而在△abm中,由于mb=bc知,mb=ab,所以△abm是等腰三角形,由∠mbc的度数可以求出∠abm的度数,这样便可以求出∠bam的度数,最终可以求出∠2的度数.
解:因为以ef为折线折叠后,b与c重合,所以mb=mc,以cp为折线折叠后,b与m重合,所以bc=mc,∠1=∠3,由mb=mc=bc知,△mbc是等边三角形,所以2∠1=60°,即∠1=30°.
在△abm中,因为mb=ab,所以,△abm是等腰三角形,所以
∠abm=90°-∠mbc=90°-60°=30°
∠bam=(180°-30°)÷2=75°
∠2=90°-∠bam=90°-75°=15°.
例6 如图6—9,已知△abc是等边三角形,d是ac中点,e是状.
分析:由于△abc是等边三角形,所以∠3=60°,如果能设法求出∠2的度数,就可以求出∠e的度数.
解:因为△abc是等边三角形,所以∠abc=∠acb=60°.因为d是ac中点,ab=bc,所以以bd为折线折叠的话,必然a与c重合,因
由于∠3=∠2+∠e
由∠1=∠e知db= de,所以△dbe是等腰三角形.
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