6.想平均数

思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占

知这三个数是14、15、16。

二、一个数分别为

16－1＝15，

15－1＝14 或 16－2＝14。

若先求第一个数，则

思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，

知是15、16。

思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。

若先求第三个数，则

2÷(8－7)×8＝16。

7.想奇偶数

例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。

例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9

＝45＋63＝108。

为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为

12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有

12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，

12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，

同理得

12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，

1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，

123－4－5－6－7＋8－9＝100，

123＋4－5＋67－89＝100，

123－45－67＋89＝100。

为了减少计算。应注意：

(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？

1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。

(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。

例2 求59～199的奇数和。

由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。

例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。

知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。

所求为 10000－841＝9159。

或者 59＝30×2－1，302＝900，

10000－900＋59＝9159。

例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。

例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9

＝45＋63＝108。

为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为

12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有

12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，

12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，

同理得

12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，

1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，

123－4－5－6－7＋8－9＝100，

123＋4－5＋67－89＝100，

123－45－67＋89＝100。

为了减少计算。应注意：

(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？

1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。

(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。

例2 求59～199的奇数和。

由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。

例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。

知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。

所求为 10000－841＝9159。

或者 59＝30×2－1，302＝900，

10000－900＋59＝9159。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。

证明：设m、n(都是自然数)的最大公约数为p，最小公倍数为q、且m、n不公有的因数各为a、b。

那么 m×n＝p×a×p×b。

而 q＝p×a×b，

所以 m×n＝p×q。

例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。

这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。

所求是1和155，5和31。

例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。

由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。

小数的平方为4×40÷2.5＝64。

小数是8。

大数是8×2.5＝20。

算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。

9.想 份 数

10.巧用分解质因数

例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。

144＝24×32

＝(22×3)×[(2×3)×2]

＝(4×3)×(6×2)

可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。

例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。

4896＝25×32×17

＝24×17×(2×32)

＝16×17×18

1728＝26×33＝(22×3)3＝123

385＝5×7×11

例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(c)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？

1992＝2×2×2×3×83

2＋3＋83＝88

例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。

1620＝22×34×5

＝(32×22)×(32×5)

甲数是45，乙数是36。

例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。

八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

例7 600有多少个约数？

600＝6×100＝2×3×2×2×5×5

＝23×3×52

只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：

2、22、23；

3；

5、52；

2×3、22×3、23×3；

2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；

3×5、3×52；

2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。

不含2×3×5的因数的数只有1。

这八种情况约数的个数为；

3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。

不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。