17.想 法 则

用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。

子比分母少16。求这个分数？

由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知

分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。

18.想 公 式

证明方法：

以分母a，要加(或减)的数为

(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。

19.想 性 质

例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(c)卷题6：有甲、乙两个多少倍？

200÷16＝12.5(倍)。

例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。

由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。

由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。

满足题意的三个分数是

(二)第400个分数是几分之几？

此题特点：

(2)每组分子的排列：

假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。

(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系

分母：1、2、3、4、5、……

分数个数：1、3、5、7、9、……

(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。

例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。

10×2－1－6=13(个)位置上。

分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。

或者102=100， 100－12=88。

100－6＝94， 88＋6＝94。

问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。

第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即

若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？

352－(35×2－1)＋1

＝1225－69＋1＝1157。

排在1157－1225个的位置上。

20.由规则想

例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。

例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……

这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。

(1989－4)÷6＝330……5

最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。

21.用 规 律

例1 第六册p62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

(1)2 2 2 2 2＝0

(2)2 2 2 2 2＝1

……

(10)2 2 2 2 2＝9

解这类题的规律是：

先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：

2－2＝0，2÷2＝1；

再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……

每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：

2÷2＋2÷2－2＝0

2÷2×2－2÷2＝1

2－2＋2÷2×2＝2

2×2＋2÷2－2＝3

2×2×2－2－2＝4

2－2÷2＋2×2＝5

2＋2－2＋2×2＝6

2×2×2－2÷2＝7

2÷2×2×2×2＝8

2÷2＋2×2×2＝9

例2 第六册p63题4：写出奇妙的得数

2＋1×9＝

3＋12×9＝

4＋123×9＝

5＋1234×9＝

6＋12345×9＝

得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：

第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去

7＋123456×9=1111111

8＋1234567×9=11111111

9＋12345678×9＝111111111

10＋123456789×9＝1111111111

11＋1234567900×9=11111111111

12＋12345679011×9=111111111111

……

很自然地想到，可推广为

(1)当n=1、2时，等式显然成立。

(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时

k＋1＋123…k×9

=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9

=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k

=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1

根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。

例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。

(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。

=(21－1)÷2=10。

22.巧想条件

比5小，分母是13的最简分数有多少个。

7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。

例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。

看结果，想条件，知都是可用的。

4×(1＋2＋3)＝24

(5＋1＋2)×3＝24

6×(3＋2－1)＝24

7×3＋1＋2＝24

8×3÷(2－1)＝24

9×3－1－2＝24

10×2＋1＋3＝24