50.探 索 法

就是多方寻求，解决疑难。

51.观 察 法

数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。

例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。

(1)1＋1×8

(2)2＋12×8

(3)3＋123×8

(4)4＋1234×8

仔细观察算式间的联系，

第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加 89，889，8889，……

由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知

式(4)为 987＋8889＝9876。

例2 观察

不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个

是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。

如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)

例3 由11＋1.1＝11×1.1，

知其积等于其和。

特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。

例4 观察分析

…………

会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。

此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？

用反证法证明：

若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。

则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。

若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。

同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。

52.猜测与证明

美国数学家g·玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”

例1 3×4＝12

它的积是由1和2依顺序排列的数。

由33×34＝1122

333×334＝111222

n个 n个 n个 n个

为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。

证明：

令s＝11…1，

则s＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，

10s＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，

9s＝10s－s＝10n－1，

由此得

故33…3×33…4＝11…122…2，

进而可得33…3×33…5

＝33…3×(33…34＋1)

＝11…122…2＋33…3

＝11…155…5。

例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？

智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。

如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。

这样的数组有：

1、2、3 1、2、6 1、2、9

1、3、5 1、3、8 1、4、7

1、5、6 1、5、9 1、6、8

1、8、9 2、3、4 2、3、7

2、4、6 2、4、9 2、5、8

2、6、7 2、7、9 3、4、5

3、8、4 3、5、7 3、6、9

4、5、9 4、6、8 5、6、7

5、7、9 6、7、8 7、8、9

符合题意的全部四位数是，

6×27＝162(个)

例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。

在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。

设10个连续自然数为：

n、n＋1、n＋2、…、n＋9，

则(n＋8)－n＝8，

(n＋9)－(n＋2)＝7。

这里 a＝n＋8，

b＝n，

c＝n＋9，

d＝n＋2，

或 a＝n＋9，

b＝n＋2，

c＝n＋8，

d＝n。

或者(n＋9)－(n＋1)＝8，

(n＋7)－n＝7。

这里a＝n＋9，

b＝n＋1，

c=n＋7，d=n，

或 a=n＋7， b=n，

c=n＋9，d=n＋1。

例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。

证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……

当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以

＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。

当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以

＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。

当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以

＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。

＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。

这里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，

原式＝(9＋40)×8＝392。

53.相似运算

例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字，把它与9相乘，得到一个积，把这个积再乘上12345679，所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。

比如说，选择5，5×9＝45。

两边都除以5，

12345679×9=11 11 11 11 1。

对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，

12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a

＝aaaaaaaaa 。

例2 任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。

从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。

1＋6＋8＝15。

两位数的和除以一位数的和，

设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，

10a＋b 10a＋c 10b＋a

10b＋c 10c＋a 10c＋b

其和为 22a＋22b＋22c

＝22(a＋b＋c)

遇到类似的运算，可不假思索地写出22。