【摘要】学习错误源于学习活动本身，直接反映了学生学习的情况。教师应善于利用课前预设错误资源，善于捕捉课中错误资源，善于课后反思错误资源，将学生的学习错误当作一种教育的契机，让错误变成宝贵的课堂教学资源。

［关键词］错误 教育契机 反思

《数学课程标准》指出：“在数学教学活动中，“错误”往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。”在 数学课堂上，每天都有学生在出错。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，他们在学 习过程中出现各种各样的错误是十分正常的。课堂是学生出错的地方，出错是学生的权力．心理学家盖耶认为：谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最 富成效的学习时刻。我们要善待学生的“错误”，抓住这种数学教育契机，让错误变成宝贵的教学资源。那么，如何认识和对待教学过程中反映出来的错误呢？在我 看来：

一、 课前铺垫错误——预设精彩的课堂

英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”是的，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。我们不仅要宽容错误，更要挖 掘利用好学生的错误资源，学生对新知理解常常会遇到一些常见的、易犯的错误，尽管老师反复讲解，多次强调，总有些学生不能彻底改正、往往一错再错，这些情 况教师通过认真钻研教材，根据学生发生错误的规律，凭借教学经验，可以预测学生学习某知识时可能发生哪些错误。在课堂教学中运用形形色色的“错误”资源， 让学生在思索、讨论中展现多姿多彩的课堂。

1、显示错误，防患未然

“数学学习与学生的身心发展”研究表明：每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在数 学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。在课堂教学过程中，如果我们能故意制造一些美丽的错误并主动呈现错误，引导 学生从自己的认识角度，凭借自己已掌握的数学知识找错、知错和改错，让学生产生强烈的纠错欲望，让学生在“尝试错误”的过程中比较、判断、思考、甚至引发 争议。让学生在错误中反思，在反思中探究，从而让学生了解并改正，预先实行控制。那么课堂就会展现出它真实、精彩的魅力，学生也因此兴趣盎然。

学完《圆的认识》，出示判断：“圆的直径是半径的2倍”让大家明白必须要在“同一个圆中”的前提下才能成立。出示“圆的直径是半径的2倍，那直径和半 径必须在同一个圆中。”让学生先思考，再用画图来验证，使之理解其正命题、逆命题的逻辑关系。学完《面积单位》后，练习填写单位时，不仅仅出现“我们的教 室大约是25（ ）”之类的面积单位，还出现“教室的黑板高2（ ）”等长度单位的习题，以加强对单位意义的理解。这样，老师主动出示题目显示错误，让学生在议错、辨错，进一步理解知识，既控制了可能发生的错误，防患于 未然，把错误消灭在萌芽状态，又提高了学生分析和解决问题的能力。

2、诱导错误，引发深思

音乐界有这样一个故事，世界著名指挥家小泽征尔当初参加一次世界性的比赛时，曾连续三次中断了指挥，因为他认定乐谱中出现了“错误”。其实，这正是评 委们故意设下的“陷阱”。事实上，对这个“陷阱”的大胆否定，正验证了小泽征尔作为音乐指挥家的真正实力。教师也应善于恰当设置一些这样的“陷阱”，甚至 诱导学生“犯错”，使其“上当”，当他们落入“陷阱”而还陶醉在“成功”的喜悦中时，指出他们的错误，并通过正误辩析，让他们从错误中猛醒过来，记取教 训，往往能收到“吃一堑长一智”的效果。由于高度的情感反差，伴随着明显的正误对照，自然给学生留下深刻的印象。

如《面积与面积的单位》这节课当学生学会了用数方格的方法比较大小时，我故意设置“陷阱”：那下面就用我们刚才所学的本领来做一个数方格的游戏，游戏 的规则是男同学数的时候，女同学闭上眼睛。女同学数的时候，男同学闭上眼睛。接下来男同学数了是8格，女同学数了是4格，所有同学都认为8格的长方形大， 但出乎意外的是我拿出来的两个长方形的面积是一样大的。这时学生大呼“上当”，激烈的认知冲突使学生恍然大悟，悟出了“统一格子大小”的必要性，面积单位 的出现可谓水到渠成。没有教学谍谍不休的细碎讲解，也没有教师近乎武断的“国际规定”，学生在教师精心设计“陷阱”中，自己领悟出了“规定”后面的“道 理”。这样学生走进了“陷阱”，又从“陷阱里”走了出来，继续去寻找新的答案，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。”

３、故意错误，引起质疑。

居里夫人上小学时，一次老师给同学们讲：在一只装满水的杯子里放入一颗小石子水就会溢出来，但是放入一条金鱼，水却不会溢出来。放学后，居里夫人觉得 老师的结论值得怀疑，就亲自动手实验，结果满杯的水溢了出来。老师的一次故意“出错”培养了居里夫人善于质疑的优秀学习品质！其实，学生获取数学知识的过 程实际上就是不断探究的过程，通过教师的主动呈现错误，让学生的心理泛起了涟波，引起了学生的好奇心，课堂上老师有意“出错”能有效地调节教学气氛，让平 淡无奇的课堂变得更具诱惑力。

在教学圆锥的体积一课时，有一位老师让学生分组做实验：在空圆锥里装沙子，然后倒入空圆柱中，看看几次可以装满。各小组分头操作，之后交流圆柱和圆锥 之间的关系。结果答案层出不穷：有的学生说：“我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，三次正好装满，说明圆锥的体积是圆柱的三分之一。”有的学生 说： “我们认为圆锥的体积是圆柱的四分之一。”还有的说：“我们不到三次就将圆柱装满了。”这个老师说：“答案怎么会各不相同呢？老师也来做一做，你们可要仔 细观察啊。”于是这位老师将空圆锥里装满沙子，倒入空圆柱中，一次，两次。两次正好装满。“圆锥的体积是圆柱的二分之一？怎么回事呢？难道是书上的结论有 错误？”学生议论纷纷起来……老师又不失时机地问：“你们说怎么办？”一位学生说：“老师你的圆柱太大了。我推荐你用这个空圆柱。”结果三次正好倒满。学 生恍然大悟，原来老师制造了一个小小的错误，故意用了一个大圆柱。只有在等底等高的情况下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一。

对于等底等高的概念，这位老师没有回避，也没有遮掩，而是故意暴露错误，并留给学生足够的时间让学生充分讨论甚至发生争论，进而引发探究。老师这样的 故意出错，把学生引入矛盾的困惑境地，使他们对自己的认知产生怀疑、自主反思，从错误中吸取教训，从失败中找出原因，从而让学生在纠正错误中开启智慧，迈 入知识的殿堂。

二、 课中捕捉错误——生成多姿的课堂

叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论 乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。” 课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过 程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。同时教师也要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中， 变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会看到错误背后的成功，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。

1、善待“错误”， 显露思维

著名教育家卡尔??威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”。新的《数学课程标准》指出：“要关注学生在数学活动中所表 现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”良好的数学情感与态度是学生参与数学活动的重要动力，是克服困难和探索创新的力量源泉。学生学习中产 生的错误,是一种来源于学生学习活动本身,具有特殊教育作用的学习材料。“错误”作为一种教学资源，只要合理利用，就也能较好地促进学生情感的发展。对激 发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。

当学生在课堂上出现错误或产生问题时，作为教师，首先要本着以人为本的主体教育观，尊重、理解、宽容出错的学生，不斥责、挖苦学生。教师要从学生的视 角看待这些错误，让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，不轻易否定学生的答案，错了允许重答，答得不完整允许再想，不同的意见允许争论。在这样的课 堂上学生没有答错题被老师斥责的忧虑，更没有被同学耻笑的苦恼，他们在民主的气氛中学习，思维活跃，敢说、敢做，敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态 度投入学习，体会到学习的乐趣，而且师生的关系也非常融洽。这样学生在教师的正确引导及鼓励下，在错误面前敢于正视错误，挑战错误，增强战胜困难、学好数 学的信心

2、关注“错误” ，引导辨析

古人云：人非圣贤，熟能无过。在课堂教学中，学生对知识的理解会出现各种各样的错误，有的老师在学生出现错误时，采取“马上制止”或“立即纠正”的方 法，但这样做却不能达到防止错误的目的，也忽视了错误的价值。《课标》指出：数学课程的内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的。以学生的真实错误为教 学内容，让学生通过 “尝试错误”的活动，把解决问题的主动权还给学生，引导他们比较、思辨。让他们自己明确产生错误的原因，知道改正的方法，体验知识的内在联系与区别，形成 系统，避免以后不再犯类似的错误。

例如，在学习完“乘法分配律”之后，我出示练习（1）25+75×4（2）25×75×4，学生练习后出现了这样两种情况错误：甲—— 25+75×4=4×（25+75），乙—25×75×4=4×（25+75）出了这样的错误，他们还觉得自己挺有道理。如果我们只是简单的直接告诉他 们，效果显然是很不理想的，因为这样错误往往还会再三地出现在我们所信任的好同学身上。为此，我抓住契机，巧妙地设定了甲、乙、丙（丙为正确方）三方，开 展辩论赛，看哪方能胜出。我让他们同时准备一段时间，用有力的数学语言、数学规律作为证据，证明自己的同时也反驳他方。同学们跃跃欲试、斗志昂扬，他们开 展了激烈而深入的思考辨析活动。从后面的交流思辩中我们便可体验到“不经历风雨，怎么见彩虹”的诗意哲理。如反驳甲、乙的丙方认为：乘法分配律是适用于两 个数的和或差与另一个数相乘的情境，他们又从侧面或进行了更有力的论证：A——4×（25+75）=4×25+4×75与（1）、（2）的式子不一样B ——直接计算（1）、（2）的式子我们也能证明甲乙两方方法是不对的；C——（1）式子只能用一般计算方法，它不符合用乘法分配律的条件，（2）式子这题 可以简便运算25×75×4=（25×4）×75……可见，让学生经历错误又何妨？学习是从问题开始的，甚至是从错误开始的。出错了，课程才能生成，就是 在这发自内在“更错”欲望的驱使下的探究活动，才更能体现课堂的鲜活性、生成性。

3、将就“错误”， 因势利导

《课标》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上获得不同的发展。”数学教学应最大限度地满足每一个学生的需要，最大 限度地开启每一个学生的智慧潜能。而真实的课堂教学，学生不可能不出现错误，就因为有了这种、那种错误，我们教师就要考虑如何利用好这些“错误”化弊为 利，我们也可以经常针对学生的错误进行“将错就错”的训练，这种“化错为正”的方法，引导学生从正、反不同角度修改错误。这不仅能使不同层次的学生发现错 误，提高学习的积极性，而且可以扬长补短，拓宽学生的思维，训练了学生思维的灵活性和创造性。

如我在教学应用题时，出示一道练习“铅笔有30支，比圆珠笔的3倍多6支，圆珠笔有多少支？”学生列出的算式 有：①3×30＋6；②3×30－6；③（30＋6）÷3；④（30－6）÷3；⑤30÷3－6；⑥30×3＋6……解法很多，究竟谁对谁错？通过学生合 作，结合线段图，学生很快“统一”了答案，①、④是正确的。这时，我“将错就错”，因势利导：如果是其他算式，你能改变原题中的条件，改编出应用题吗？学 生的思维打开了，针对其他算式改编出应用题。这样的“将错就错”，举一反三，既丰富了知识，又拓展了思路，学生求异思维能力得到了提高。在数学教学过程 中，教师如果从学生出现的错误做法出发，进行引导点拨，不仅能引出正确的想法，还可以“将错就错”，拓宽学生思维。同时也使我们的教学环节更加精彩，教学 过程更加真实。

三、课后反思错误——共同成长的课堂

从心理学的角度来说，反思是指自己思维和学习、工作过程中的自我意识和自我监控。反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。在新课程实施 中，教师需要成为反思型教师，学生需要成为反思型学生。反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。“教学相长”提醒我们要学会反思错误，师生在 课堂中共同成长。

1. 学生反思，完善认知结构

荷兰著名学者弗赖登塔尔说过：“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力。” 学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须有一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反思作前提。在实际教学中，教师应帮助 学生树立纠错追因意识，把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里？为什么错？然后让学生有针对性的纠错，让错误发挥最大的育人功 效。我要求每位学生都准备一本“错题集”，这是一条很好的培养学生反思习惯的途径。每个人在做数学习题时，都会出现这样那样的错误，把这些错误记录在一本 专门的本子里。我定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题，在课堂上进行剖析，同时让学生的解题思维充分暴露出来，然后，尽量详尽地分析错误原因。在 学生常犯错误的关键之处，经常适时地引导学生去反思、回顾，这样不仅可以培养学生批判性数学思维品质，又可以完善认知结构，形成系统。

2. 教师反思，促进专业成长。

杜威曾说过：“失败是有教导性的，真正懂得思考的人，从失败和成功中学得一样多！” 课堂上，有些学生的错误是你根本预料不到的，有些错误在课堂上来不及处理的，在课后要静静地反思，教师要根据学生在课堂中学习新知所表现出来的错误，审视 自己，进行反思，发现不足之处，采取及时有效的方法进行调整，修正自身的不足之处。课后，为了充分发挥“错误”在教学中的积极作用，我及时对学生理解新知 识过程中，出现的典型错误及错误产生的原因、反馈矫正的对策进行搜集、整理、记录。为了巩固理解新知识，我将搜集的典型错例制作成选择题、连线题、问答 题、判断题等多种形式的题型进行对比练习、强化训练，还把典型错例课前准备题或成为新课的引入，这样为学生更好理解新知识作好铺垫。同时，通过写教后小记 等形式获得反馈信息，进而在以后的教学过程中不断优化反馈策略。反思是为了更好地解决教学中的失误寻找存在的问题，发现留下的遗憾，是教师自我教育、成长 的最佳途径。

3、文本反思，课外拓展延伸

《数学课程标准》中明确指出：“通过数学学习，应使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展。”反思是对所得出的结论进一步 锻炼和升华，是创造学习的一个重要组成部分。在学生反思、老师反思中难免还会留下一些遗憾，学生还可以从文本中吸取很多反思营养，在文本中去寻找其中一些 的错题，如错题组成的基本练习、变式练习、拓展练习等多种形式的题型做为课后拓展延伸题，有困难同学之间可以互相讨论，共同解决。通过对错题进行找错、议 错、纠错使同学反思产生错误的原因，知道改正的方法。这样可以进一步深化学生对所学知识建立的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性知识到理 性知识的升化。当然我们学生所学习文本中也会出错，在鼓励学生多看文本的同时，还要鼓励学生提出不同看法，怀疑书本结论，鼓励学生不拘泥于现成的知识，勇 于海阔天空地“异想天开”，让学生大胆发表自己的见解，将错误转化为促进学习、促进探究的课程资源。这也为学生在日后的学习中不怕犯错、敢于质疑问难、敢 于挑战权威，开展富有创造性的学习探究活动打下了良好的情感基础。

总之，数学错误随着数学学习的开始也产生着，对于错误，我们要站在数学价值的角度上重新审视，灵活的运用于数学教学当中，发挥数学错误最大限度的作 用，挖掘内在的“闪光点”，对其新的探究与发现，为学生创设新的学习机会，提高教学质量，为学生的成长与发展提供新的教育契机。