2015-11-10
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数学公式立方和公式
立方和公式证明
我们知道:
0次方和的求和公式N^0=N+1
1次方和的求和公式N^1=N(N+1)/2
2次方和的求和公式N^2=N(N+1)(2N+1)/6
取公式:(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那末就有:
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=41^3+61^2+41+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式带入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成!
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
探索三角形全等的条件(一)
1.3截一个几何体教案
七年级(下)数学教案D(北师大版)
第七节有理数的加减混合运算2
第一节代数式1
新课标七年级数学教案(华师大版)
第6章 一元一次方程
第七节有理数的加减混合运算1
数学七年级上册各章介绍
在试验中寻找规律
新课程华师大版七年级下册教案第8章
角的度量(第一课时)
新课程华师大版七年级下册教案第6章
第四节绝对值1
7.1.2三角形的高,中线与角平分线
不等式的解法(1)
《因式分解的简单应用》说课稿
一元一次方程的解
7.2.2三角形的外角
第七章 二元一次方程组
初中第七册数学教案
从不同方向(2)
7.1.1三角形的边
7.3.2《多边形的内角和》说课稿
七年级(下)数学教案C(北师大版)
1.3.2有理数减法(1)
7.1.1三角形的边
小学升初中衔接教育
第四章《图形的初步认识》第四节:平面图形
代入消元法解方程组
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