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注意全等三角形的构造方法教案

2015-11-05 收藏

以下是查字典数学网为您推荐的注意全等三角形的构造方法教案,希望本篇文章对您学习有所帮助。

注意全等三角形的构造方法

搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考.

1.截长补短法

例1.如图(1)已知:正方形ABCD中,BAC的平分线交BC于E,

求证:AB+BE=AC.

解法(一)(补短法或补全法)延长AB至F使AF=AC,

由已知△AEF≌△AEC,ACE=45,

BF=BE,AB+BE=AB+BF=AF=AC.

解法(二)(截长法或分割法)在AC上截取AG=AB,由已知

△ ABE≌△AGE,EG=BE, AGE=ABE,∵ACE=45, CG=EG,

AB+BE=AG+CG=AC.

2.平行线法(或平移法)

若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△,有时可作出斜边的中线.

例2.△ABC中,BAC=60,C=40AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q, 求证:AB+BP=BQ+AQ.

证明:如图(1),过O作OD∥BC交AB于D,ADO=ABC

=180-60-40=80,又∵AQO=QBC=80,

ADO=AQO,又∵DAO=QAO,OA=AO,

△ADO≌△AQO,OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,

PBO=DOB,又∵PBO=DBO,DBO=DOB,

BD=OD,AB+BP=AD+DB+BP

=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.

说明:⑴本题也可以在AB截取AD=AQ,连OD,

构造全等三角形,即截长补短法.

⑵本题利用平行法解法也较多,举例如下:

① 如图(2),过O作OD∥BC交AC于D,

则△ADO≌△ABO来解决.

② 如图(3),过O作DE∥BC交AB于D,

交AC于E,则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO来解决.

③ 如图(4),过P作PD∥BQ交AB的延长线于D,

则△APD≌△APC来解决.

④ 如图(5),过P作PD∥BQ交AC于D,

则△ABP≌△ADP来解决.

(本题作平行线的方法还很多,感兴趣

的同学自己研究).

3.旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。

例3.已知:如图(6),P为△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,

求APB的度数.

分析:直接求APB的度数,不易求,由PA=3,PB=4,PC=5,

联想到构造直角三角形.

略解:将△BAP绕A点逆时针方向旋转60至△ACD,连接PD,

则△BAP≌△ADC,DC=BP=4,∵AP=AD,PAD=60,

又∵PC=5,PD +DC =PC 图(6)

△PDC为Rt△, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150.

4.倍长中线法

题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。

例4.如图(7)AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE.

求证:AC=BF

证明:延长AD至H使DH=AD,连BH,∵BD=CD,

BDH=ADC,DH=DA,

△BDH≌△CDA,BH=CA,DAC,又∵AE=EF,

DAC=AFE,∵AFE=BFD,AFE= 图(7)

BFD=DAC=H,BF=BH,AC=BF.

5.翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形.

例5.如图(8)已知:在△ABC中,A=45, ADBC,若BD=3,DC=2,

求:△ABC的面积.

解:以AB为轴将△ABD翻转180,得到与它全等

的△ABE,以AC为轴将△ADC翻转180,得到

与它全等的△AFC,EB、FC延长线交于G,易证

四边形AEGF是正方形,设它的边长为x,则BG

=x-3,CG=x-2,在Rt△BGC中,(x-3) +(x-2) =5 .

解得x=6,则AD=6,S△ABC= 56=15. 图(8)

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