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精讲精练

随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年中考数学命题的改革产生了重大影响。新课程标准下的初中数学教材，增添了图形变化的问题，使数学更贴近生活，几何变换这一重要的数学思想，在近几年的中考、竞赛试题中经常出现，这使得数学试题的解题方法和技巧更加灵活多变。只改变图形的位置，而不改变其形状大小，使几何图形重新组合，产生新的图形关系，从而找到解决问题的途径，这是进行几何变换的目的，其中旋转变换是最常见的手段之一。

旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形(或其中一部分图形)，通过旋转，改变位置后重新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

旋转变换是一种重要的几何变换，进行几何变换的目的有两个：

①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系;

②使分散的元素集中，从而使表面互不相干的条件变得密切相关。

什么时候考虑用旋转变换?怎样运用旋转变换呢?下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中的应用：

例1.如图，正方形ABCD的边长为a，将正方形OMNP的一顶点O放在正方形ABCD的对角线AC、BD的交点处，你能求出两正方形重叠部分的面积吗?

这道题是初二课本上的一道课后练习题，当时我们解这道题时是从全等的角度来考虑的。现在我们可以尝试着用新方法——旋转来解这道题。

分析：重叠部分被分为两部分△OCF和△OCE，而△OCF ≌△OBE，△OCE≌△ODF，我们可以将△OCF绕点O顺时针旋转90°与原有的△OBE重合，或将△OCE绕点O逆时针旋转90°与原有的△ODF重合。这样，通过旋转我们能轻而易举地知道重叠部分面积为正方形ABCD面积的■，所以重叠部分面积为■a2。

解：∵OB=OC

∴将△OCF绕点O顺时针旋转90°

∴△OCF≌△OBE

∴S阴影=S△OBC

∴S阴影=■a2

这道题也可将△OEC绕点O逆时针旋转90°，进行解答。

这道题是通过旋转使图形与原有图形重合，从而使重叠部分面积得到重新组合，使问题得到解决。这个以前做过的题目，我们换一个角度再看这道题目，又别有一番风景。在感观上认识旋转，了解旋转解题的简便之处。从中总结出用旋转解题的前提条件——相交等线段，从感性认识上升到理性认识。

练习1.如右图所示，分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为a，求阴影部分的面积。

例2.如图所示，设P为等边△ABC内的一点，∠APB=113°，∠APC=123°

问：(1)PA、PB、PC能否构成三角形?

(2)如果能构成三角形，请找出构成的三角形各内角的度数。

分析：已知三条线段看它能否构成三角形，方法大概有两种。从计算的角度求三边长度，比较三边大小，利用三角形三边关系，判断能否构成三角形。或从图形的角度，看能否将其放入一个三角形中。根据本题的实际情况求三边长度不是很现实，所以问题的解决就是看能否把三条线段放入一个三角形中。如何将三条线段放入同一个三角形中?考虑到AB、BC为两条相交等线段——利用旋转，很好地解决了这一问题。