最让我快乐的是什么?是假期，接下来看看查字典数学网为大家推荐的九年级数学专题复习规律与猜想试题，即使在家里也能快乐的学习呀!

类型之一 数式的变化规律

例1 (2014•安徽)观察下列关于自然数的等式：

32-4×12=5

52-4×22=9

72-4×32=13

……

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( );

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示) ，并验证其正确性.

【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式;

(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.

【解答】(1)4，17.

(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.

验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，

∴等式成立.

方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分;二是分析出“变”的规律即 等式的个数之间存在的规律.

1.(2014•东营)将自然数按以下规律排列：

表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应;数5与( 1，3)对应;数14与(3，4)对应;根据这一规律，数2 014对应的有序数对为 .

2.(2014•菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示).

3.(2014•滨州)计算下列各式的值：

; ; ; .

观察所得结果，总结存在的规律，运用得到 的规律可得 = .

4.(2014•巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开 式为 .

5.(2014•黄石)观察下列等式：

第一个等式：a1= = -

第二个等式：a2= = -

第三个等式：a3= = -

第四个等式：a4= =1 -

按上述规律，回答以下问题：

用含n的代数式表示第n个等式：

an= = ;式子a1+a2+a3+…+a20= .

6.(2014•烟台)将一组数 ， ，3,2 , ,…，3 ，按下面的方法进行排列：

若2 的位置记为(1，4)，2 的位置记为 (2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( )

A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5)

类型之二 图形的变化规律

例2 (2014•金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.

(1)若 把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人?

(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张?

【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.

【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.

即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).

所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).

(2)由题意可知

4x+2=90.解得x=22.

答：这样的餐桌需要拼接22张.

方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.

1.(2014•重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )

A.20 B.27 C.35 D.40

2.(2014•武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )

A.31 B.46 C.51 D.66

3.(2014•重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )

A.22 B.24 C.26 D.28

4.(2014•宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )

A.n B.n-1 C.( )n-1 D. n

5.(2014•鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是( )

①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7周长为 ;④四边形AnBnCnDn面积为 .

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

6.(2014•内江)如图，已知A1、A2、……、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=……=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、……、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、……、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、……、Pn，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△AnBnPn的面积依次为S1、S2、……、Sn，则Sn为( )

A. B. C. D.

7.(2014•内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是 .

△△□□□△○○□ □□△○○□□□△○○□……

8.(2014•娄底)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由 个▲组成.

9.(2014•盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 .(用含n的代数式表示，n为正整数)

类型之三 点的坐标的变化规律

例3 (2014•泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A( ,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为 .

【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.

【解答】由题意可得：∵AO= ，BO=4，

∴AB= ，

∴OA+AB1+B1C2= + +4=6+4=10，

∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，

∴点B2 014的横坐标为： ×10 =10 070.

故答案为：10 070.

方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.

1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 .

2.(2013•湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 ，A22的坐标是 .

3.(2014•孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 .

4.(2014•德州)如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依 次为A1，A2，A3，…An ，….将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线l：y=x上;

②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，….

则顶点M2 014的坐标为 .

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