我们先来看一个经典悖论例子：

在某个乡村有一位理发师，有一天他对外宣布一个原则：只给，不给自己刮胡子的人刮胡子。

那么这里就会产生一个矛盾：理发师给不给自己刮胡子呢？因为如果他给自己刮胡子，那么他就是给自己刮胡子的人，但按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不给自己刮胡子的人。同样按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

这是一则很经典“理发师悖论”，或许有些人看完有点“懵”。懵就对了，说明你在感受数学的逻辑思维，感受数学的数理能力。

数学的产生到发展以及应用，很多时候得益于人们在解决实际生活中遇到问题，或在数学领域研究工作时遇到的问题。如古人狩猎，耕种，房屋建设，原始交易等等，就促成自然数的产生。当古人需要进行份额分配的时候，又促成了分数的产生。

我们经常说数学来源于生活，同时又服务于社会，当人类社会不断往前发展的时候，古人发现自然数、分数等这些数学知识已经满足社会发展，如人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。像在市场交易时候，记账有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。以上这些实际生活情况，古人仅仅靠自然数和分数就无法解决，因此为了适应社会发展，人们就考虑了相反意义的数来表示。

于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。看到这里，很多人肯定会在想，那么是哪个国家最早发现负数这一概念呢？值得我们骄傲的是我们中国人。

成书于公元一世纪左右的《九章算术》，该书内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题。在《九章算术》这部数学巨作的《方程章》中，刘徽为了解决方程问题，便引入了负数的概念和正负数加减法则。刘徽这么说道：“两算得失相反，要令正负以名之”，“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。这些是书中关于正负数的明确定义，书中给出的正负数加减法则，和现代的数学教科书上正负数概念完全一致。

下面就让我们一起来看看《九章算术》中的原题：

今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

书中给出的解法是：

术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕十三负，余钱数正：次置牛三正，羊九负，豕三正；次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术人之。

现代数学去解释就是：

设每头牛、羊、豕的价格分别用为x、y、z，则可列出如下的方程（组）：

2x+5y-13z=1000

3x-9y+3z=0

-5x+6y+8z=-600

解这样的方程组，对于现代数学来说简单不能再简单了。当时还没有出现负数概念的时候，解这样的方程组就会显得很困难。我们知道，在解方程组时，如果去移项消去一个未知数，那么在这个过程中往往就会出现某些未知数的系数为负数的情形。因此，《九章算术》不仅解决了方程组的解法，还引入负数的概念，扩大了数的系统。

当时古人还没有阿拉伯数字，刘徽当时是怎么去分辨正负数呢？古代数学计算主要是通过算筹来进行的，当时规定以红为正，黑为负；或将算筹直列作正，斜置作负。就这样简单粗暴直观的方法，只要碰见具有相反意义的量，就可以用正负数明确地加以区别。

外国首先提到负数的是印度人，整整比《九章算术》迟1千多年。欧洲第一个给予正负数以正确解释的是斐波那契，但他们比我们的祖先晚好几百年。甚至在欧洲，很长一段时间里认为负数是一种“荒谬的数”，很多人对负数感到迷惑不解，如把零看作“没有”，很难去理解比“没有”还要少的现象。

直到1637年，法国大数学家笛卡儿通过创立了坐标系和点的坐标概念，创立了解析几何学，负数才赋予真正的几何意义和实际意义，确立了它在数学中的地位。

数学来源于生活，同时又服务于生活，这句话我们经常都会说到，但现代数学教育课堂经常脱离实际生活，让数学知识学习显得很空洞和无用。数学教育离不开实际生活，更需要融入实际生活中，来凸显数学知识的重要性。就像正负数的学习，现代数学教育已经不需要像古人那样去繁琐解释，但我们仍可以通过一些具体生活例子，来帮助学生加以理解，如温度计上的刻度，海拔高度等等。这些贴近生活的例子，学生理解起来不难，帮助他们消化数学知识，又可以培养数学学习兴趣。