2017-05-10
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一
作为集合大小的定义,应该满足什么样的基本要求?我们当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和直觉,其中有许多是要比“整体大于部分”更加要紧的。
首先,一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。
我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示,高中政治,比如说,
A={小于等于2的正整数}
B={1, 2}
C={x2-3x+2=0的根}
其实都是同一个集合,
D={n n为自然数,且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整数解}
又怎么样呢?1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理,所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合,它里面有两个元素1和2。我们记得,一个集合由它所含的元素唯一决定,所以它的大小也不能取决于它被表示的方法,或者被构造的途径,它只应该取决于它本身。
一个集合得和自己一样大,这个没有什么好说的;
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