小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件(简称条件)，第二部分是所求问题(简称问题)。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。

17 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】

从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?

解 总份数为 47+48+45=140

一班植树 560×47/140=188(棵)

二班植树 560×48/140=192(棵)

三班植树 560×45/140=180(棵)

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

解 3+4+5=12 60×3/12=15(厘米)

60×4/12=20(厘米)

60×5/12=25(厘米)

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17 17×9/17=9

17×6/17=6 17×2/17=2

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

18 百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数=比较量÷标准量

标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】

一般有三种基本类型：

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

解 (1)用去的占 720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占 6480÷(720+6480)=90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?

解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以 (525-420)÷525=0.2=20%

或者 1-420÷525=0.2=20%

答：男职工人数比女职工少20%。

例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?

解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此

(525-420)÷420=0.25=25%

或者 525÷420-1=0.25=25%

答：女职工人数比男职工多25%。

例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

解 (1)男职工占 420÷(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占 525÷(420+525)=0.556=55.6%

答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

增长率=增长数÷原来基数×100%

合格率=合格产品数÷产品总数×100%

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

出油率=油的重量÷油料重量×100%

废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

命中率=命中次数÷总次数×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

19 “牛吃草”问题

【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解 草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

(1)求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(1×10×20);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20=原有草量+20天内生长量

同理 1×15×10=原有草量+10天内生长量

由此可知 (20-10)天内草的生长量为

1×10×20-1×15×10=50

因此，草每天的生长量为 50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

(3)求5 天内草总量

5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

(4)求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头)

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于“牛数”)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

(1)求每小时进水量

因为，3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

所以，(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14

因此，每小时的进水量为 14÷(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是

30÷(17-2)=2(小时)

答：17人2小时可以淘完水。

20 鸡兔同笼问题

【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?

解 假设35只全为兔，则

鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答：有鸡23只，有兔12只。

例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?

解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

答：白菜地有10亩。

例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有

作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答：作业本有15本，日记本有30本。

例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?

解 假设100只全都是鸡，则有

兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

鸡数=100-20=80(只)

答：有鸡80只，有兔20只。

例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?

解 假设全为大和尚，则共吃馍(3×100)个，比实际多吃(3×100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚

(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

共有大和尚 100-75=25(人)

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。