神奇数学魔术手——斐波那契数列

    生活中我们无处不在地应用到数学去计算使用与判断，可是数学有的时候会变魔术，会“欺骗”我们的双眼，看看下面魔术，你被骗到了吗？

问题1：下面两个图形，将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？奥妙何在？不急，我们再先看看一个更简单的问题。

　　问题2：将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个 单位的面积，真不可思议！

　　这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，怎么回事呢，我们动手按照所说的剪裁方法做一做一探究竟。以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

　　问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，这就是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是： 。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。

　　上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立：我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黄金分割比，通常用 来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，，，，，……。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1，，+1，2+1，3+2，……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

　　 我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题１实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。                   

　　最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗?卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！最后送给大家一句华罗庚教授的话作为本文的结束，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

爬梯子问题（斐波那契数列应用）

假设每一步可以爬一格或者两格梯子,爬一部n格梯子一共可以用几种不同的方法?(例如,一部3格的梯子可以用3种不同的方法爬:1-1-1,1-2和2-1) 
注：以下解法来自“百度知道”。

假设n格梯子有f(n)种方法。 
则： 
f(1) = 1 
f(2) = 2 
对n>2，有： 
f(n) = （先上一格，再上n-1格的方法数） + （先上两格，再上n-2格的方法数） 
即 
f(n) = f(n-1) + f(n-2) 
所以f(n)是Fibonacci数列的第n+1项？

３.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？

  这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法．

  既：楼梯的级数：１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ．．．

  上楼梯的走法：１ ２ ４ ７ １３ ２４ ４４ ８１．．．

  这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。