2006年8月，第二十五届国际数学家大会在西班牙马德里举行，中国科学院计算数学与科学工程计算研究所副所长陈志明研究员作了题为《求解微分方程的后验误差估计与自适应有限元方法》的45分钟报告，成为此次大会唯一获邀作45分钟报告的中国大陆数学家。

最优方法已经走到极限

“自适应有限元方法的思想最早出现在1978年，美国数学家Babuska完成了这一方法的基本理论，但那个时候，自适应有限元方法被用来解决一些比较简单的数学模型问题，而我的工作就是用它来解决比较复杂和困难的工程问题。”办公室里，陈志明轻描淡写地对记者说着自己在国际数学家大会上作的报告。

不过，从简单问题到复杂的工程问题，这个方法要经历和解决的困难却无法轻描淡写。

自适应有限元方法以常规有限元方法为基础，以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心，通过自适应分析，自动调整算法以改进求解过程。“从方法论角度来说，人们已经得到结论，自适应是用有限元方法解微分方程的最优离散方法。”陈志明说，在微分方程求解的有限元道路上，自适应已经是数学上能找到的“极限”方法了。

在实际生产实践中，很多工程问题的解决都要用到微分方程，但用计算机求解微分方程需要进行大量计算。有时候，为了把误差控制在足够小的范围内，需要进行上亿次的运算，这对一般计算机来说非常吃力。有时即便进行上百亿次运算，也无法把误差控制在理想范围之内。为了减少运算次数、控制误差范围，显然，需要更好的求解方法。

“用有限元方法解微分方程有三步：设计网格、在网格上将微分方程离散、解代数方程。其中，设计网格是最关键也是最困难的一步。”所谓设计网格，就是把计算区域划分为有限个互不重叠的单元，陈志明告诉记者，人们往往根据经验来划分网格，有时需要反复尝试多次才能找到比较合适的划分方法，而尝试过程也需要进行大量运算。

“现在，用自适应方法解微分方程，设计网格的工作可以交给计算机自动完成，不再需要人们手工设置和尝试，这样节省了大量工作和时间。”陈志明说。

在第二十五届国际数学家大会的报告中，陈志明以工程中的热传导问题为例，很好地说明了这一方法的高效率。如果在计算域内设计分布均匀的网格，将需要100亿个网格，但这时达到的误差仍然有0.1;如果用自适应方法设计出分布不均匀的网格，只需要2673个网格，误差就会下降到0.07。

现在，陈志明在椭圆障碍问题、超导数学模型、电磁散射计算中引入的创造性的有限元自适应方法，被国际学术界认为“非常重要和有用”。

循着开创者的路继续开创

陈志明作完45分钟报告之后，遇到一位曾在1994年国际数学家大会上作邀请报告的西班牙数学家。当他得知陈志明来自中国科学院计算数学与科学工程计算研究所，兴奋地说，多年前，他曾访问中科院计算数学与科学工程计算研究所的前身——中科院计算中心，与冯康先生讨论数学问题，后来他还邀请冯康先生到西班牙访问。

对未知的追求与对先驱的敬仰重新交织在同一个时空。

冯康一生中有两次重大科学突破：1964～1965年间，独立开创有限元方法并奠定其数学基础;1984年以后创建哈密尔顿系统的辛几何算法及其发展。

“我只是在南京大学读书的时候听过冯先生的报告，那是我对冯先生最直接的印象。遗憾的是，冯先生在1993年就过世了，当时我还在国外攻读博士学位，没有机会得到冯先生的亲自指导。后来到了计算数学与科学工程计算研究所，我才听大家说起冯先生的工作，开始读他的文章。那些东西很深，他的工作很了不起。”陈志明回忆起冯先生给他留下的印象。

1994年，陈志明还在德国做博士后。当时他在做超导数学模型的计算，从一个报告中了解到美国数学家Babuska开创的自适应方法，并感到这个方法非常有意思，随即搜集了很多相关材料。很快，陈志明回国，在研究工作中逐渐把自适应方法引入到解决复杂工程问题的有限元计算中。

计算数学与科学工程计算研究所石钟慈、林群和崔俊芝几位院士，也从事有限元方法的研究，平时经常和陈志明一起交流、讨论，非常支持陈志明。“有限元方法的研究在我国基础很强，我现在做的工作也是继承了这个传统。为什么要解决这些工程问题，为什么这些问题这么重要，这个解决办法是怎么开创出来的等等，这其中的来龙去脉，学术文章里是不写的，但往往是科学研究中很重要的部分。能够在这种良好氛围中熏陶和灌输，慢慢地，人在学术上的品位就会逐步建立起来。”

这些年来，陈志明和他周围的学者们不断讨论计算数学的发展方向。当前国内计算数学的研究范围已经扩大到应用、实现技术、软件平台研究等，与国际上的研究趋势更加紧密地结合起来。

2005年，陈志明成为国家“973”计划项目“高性能科学计算研究”的首席科学家。这使得他们从事的研究能够更加深入地进行下去。“我一直很喜欢自适应这个方法，对Babuska先生，我也很景仰。他这种原创性的想法非常难得，对我们帮助很大。当然，要拿这套东西去解决新的问题，还需要新的想法和新的发现。”

计算数学水平迈上新台阶

身处国际数学家大会，陈志明在会议期间常和同行交流，他感到，中国计算数学的水平已经得到了国际学术界的肯定。

“在计算数学领域，我国的学术水平在国际上已经上了一个新台阶。国内学者在国外顶尖刊物上发表文章已经非常多，这种整体水平的提高也已经被国外学者注意到了。他们说，原来国外顶尖刊物上的文章也有很多中国学者的名字，但是地址都在国外，现在这些中国学者的地址很多都在国内了。

“另外，我们现在研究的问题也能让国外的学者感兴趣，这在某种程度上代表着你做的学问是否有原创性。

“我从事的是计算数学领域，但我想不仅仅是计算数学在发展，总的来讲，我国数学的总体水平比以前有了很大的进步。”

陈志明认为，整体水平高了以后，分支领域中才会有更高的成就。例如俄罗斯的数学传统非常强，才会产生佩雷尔曼这样的数学家。他用来证明庞加莱猜想的一个关键方法，西方数学界几乎无人能懂，但是受过俄罗斯数学教育的数学家却都深谙此道。这就是俄罗斯整体数学水平高、长期积累的数学工具之一，而且这种数学工具其他国家的人往往不知道，这样的话，很有可能有些问题只能用这些“独门”数学工具来解决。

喜欢数学是因为从中找到了乐趣

第二十五届国际数学家大会上，陈志明和他的国际同行有一个共识，他说：“我感觉数学家还是应该更多地考虑数学本身，专注于做学问，其他的不应该考虑太多。

“我们确实讨论到了这样的问题，大家喜欢做数学，就是因为从做数学的过程中找到了乐趣。有一位国际同行的话让我印象深刻，他说，‘你做数学的过程，乐在其中，那就够了!’

“有的人说数学枯燥，我觉得很有意思，因为数学能把很多自然现象归纳成数学模型，通过这个数学模型能预测很多原来不可能知道的事情。

“这是非常有意义的，原来不能做的事情现在能做了，原来别人看不到的，通过你的努力能看到了，这些就是科学发现。搞数学的和其他科学研究都一样，都需要坚持和勤奋。”

对过程乐在其中，对结果自然就不会太多过问，陈志明说：“随着时间过去，很多东西都会过去，真正原创的研究才能留下来。但是科学史上能够留下来的东西是非常少的。”

“科学家也是人，不可能完全脱离社会，如果出现了对学术问题的不同意见也很正常。科学史上也有牛顿和莱布尼兹关于微积分发明权的争论，但最后他们都留在了科学史上，说明他们的工作都很重要。”对于工作的价值，陈志明认为，那是要用时间来判断的，与自己要做的工作无关。