1、微积分

微积分学是微分学和积分学的统称，它是研究函数的导数、积分的性质和应用的一门数学分支学科。

微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。现在的微积分学的教程，通常的讲授次序是先极限、再微分、后积分，这与历史顺序正好相反。

在微积分历史中，最初的问题是涉及计算面积、体积和弧长的。阿基米得(公元前3世纪)的方法最接近于现行的积分法。在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。牛顿和莱布尼茨分别进行了创造性的工作，各自独立地跑完了“微积分这场接力赛的最后一棒”。

1609年，开普勒为了计算行星运动第二定律中包含的面积，和在他的论文中讨论的酒桶的体积，而借助了某种积分方法。1635年，卡瓦列利发表了一篇阐述不可分元法的论文，提出卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有价值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系统化，并作了推广。

微分起源于作曲线的切线和求函数的极大值或极小值问题。虽然可以追溯到古希腊，但是第一个真正值得注意的先驱工作，是费尔马1629年陈述的概念。1669年，巴罗对微分理论作出了重要的贡献，他用了微分三角形，很接近现代微分法。一般认为，他是充分地认识到微分法为积分法的逆运算的第一个人。

至此，还有什么要做的呢?首要的是，创造一般的符号和一整套形式的解析规则，形成可以应用的微积分学，这项工作是由牛顿和莱布尼兹彼此独立地做出的。接着的工作是在可接受的严格的基础上，重新推导基本理论，这必须等到此课题想到多方面应用之后。柯西和他的后继者们完成了这一工作。

牛顿早在1665年才23岁时，就创造了流数法(微分学)，并发展到能求曲线上任意一点的切线和曲率半径。他的《流数法》写于1671年，但直到死后9年的1736年才发表。牛顿考虑了两种类型的问题，等价于现在的微分和解微分方程。他定义了流数(导数)、极大值、极小值、曲线的切线、曲率、拐点、凸性和凹性，并把它的理论应用于许多求积问题和曲线的求长问题。

牛顿创立的微积分原理是同他的力学研究分不开的，他借此发现、并研究了力学三大定律和万有引力定律，1687年出版了名著《自然哲学的数学原理》。这本书是研究天体力学的，包括了微积分的一些基本概念和原理。

莱布尼茨是在1673年到1676年之间，从几何学观点上独立发现微积分的。1676年，他第一次用长写字母∫表示积分符号，象今天这样写微分和微商。1684年～1686年，他发表了一系列微积分著作，力图找到普遍的方法来解决问题。今天课本中的许多微分的基本原则就是他推导出来的，如求两个函数乘积的n阶导数的法则，现在仍称作菜布尼兹法则。莱布尼兹的另一最大功绩是创造了反映事物本质的数字符号，数学分析中的基本概念的记号，例如微分dx，二级微分dx?，积分∫ydx，导数dy/dx等都是他提出来的，并且沿用至今，非常方便。

牛顿与莱布尼茨的创造性工作有很大的不同。主要差别是牛顿把x和y的无穷小增量作为求导数的手段，当增量越来越小的时候，导数实际上就是增量比的极限，而莱布尼兹却直接用x和y的无穷小增量(就是微分)求出它们之间的关系。

这个差别反映了他们研究方向的不同，在牛顿的物理学方向中，速度之类是中心概念;而在莱布尼兹的几何学方向中，却着眼于面积体积的计算。其它差别是，牛顿自由地用级数表示函数，采用经验的、具体和谨慎的工作方式，认为用什么记号无关紧要;而莱布尼兹则宁愿用有限的形式来表示函数，采用富于想象的、喜欢推广的、大胆的工作方式，花费很多时间来选择富有提示性的符号。

到1700年，现在大学且学习的大部分微积分内容已经建立起来。第一部微积分课本出版于1696年，是洛比达写的。1769年，欧拉论述了二重积分。1773年，拉格朗日考察了三重积分。1837年，波尔查诺给出了级数的现代定义。19世纪分析学的严谨化，是由柯西奠基的。现在课本中的极限、连续性定义、把导数看作差商的极限、把定积分看做和的权限等等，实质上都是柯西给出的。进一步完成这一工作的是威尔斯特拉斯，他给出了现在使用的精确的极限定义，并同狄德金、康托于19世纪70年代建立了严格的实数理论，使微积分有了坚固可靠的逻辑基础。

2、微分方程

凡是表示未知函数和未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方积。微分方程的基本问题是在一定条件下，从所给出的微分方程解出未知函数。

微分方程几乎是与微积分同时发展起来的，由于它与力学、物理学的渊源很深，所以在13世纪便已自成一门独立的学科了。两个多世纪来，这一学科已发展得相当完善。

1676年，莱布尼兹在致牛顿的信中，首先提出了“微分方程”这个名称。在他们两人的著作中，都包含了许多微分方程的实例。早期的研究侧重于探讨各类一阶方程的解法，并由此导致了方程的分类。18世纪，欧拉解决了全微分方程和“欧拉方程”(一类高阶变系数线性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n阶线性方程通解的结构。其后，泰勒得到了方程的奇解;拉格朗日推导了非齐次线性方程的常数交易法。

对于微分方程组的研究，始于达朗贝尔。19世纪前半叶，柯西开始研究解的存在性和唯一性。19世纪后半叶，数学家们开始利用群论来研究微分方程，由此建立连续群和李群的新理论。庞加莱引入了极限环的概念，李雅普诺夫引入了微分方程组解的稳定性概念。他们的方法都不必直接求解，称为定性理论。1927年，毕尔霍夫建立了“动力系统”的一段定性理论。

一阶偏微分方程的研究首先是从几何学问题开始的。拉格朗日指出，解一阶线性偏微分方程的技巧，在于把它们化为常微分方程。一阶非线性偏微分方程的研究，始于欧拉和拉格朗日，蒙日为偏微分方程的几何理论奠定了基础。到18世纪末叶，在引入奇解、通解、全积分、通积分、特积分等概念之后，偏微分方程已形成一门独立的学科。

二阶偏微分方程的研究，始于18世纪的弦振动理论。通常见的二阶偏微分方程均来自物理或力学的实际问题，它们构成了这门学科中一个独立的系统—数学物理方程。

积分方程源于阿贝尔1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了积分方程这个名词。1896年开始，伏特拉给出了两类积分方程的一般理论;不久，弗雷德荷姆大体上完成了一类重要的线性积分方程理论。由于这类积分方程常出现在一些物理问题中，因此积分方程论常被包含在数学物理方程内。

现代科学技术，如空间技术、现代物理学、力学等，都有许多问题需要用微分方程来求解，甚至在化学、生物学、医药学、经济学等方面，微分方程的应用也越来越多。

3、微分几何

微分几何这门分支学科主要研究三维欧氏空间中曲线和曲面的内在性质，所谓内在性质就是同几何对象在空间中的位置无关的性质。它以微积分、微分方程这些分支学科的理论为研究工具。或简单地说，微分几何就是用分析方法研究几何性质。

微分几何的发端可见于1731年克莱洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了这一学科的雏型;欧拉研究了曲面的一般理论;高斯1827年的《关于曲面的一般研究》一书，论述了曲面理论，创立了内蕴几何学，奠定了曲面微分几何的基础。1887～1896年，达布的《曲面一般理论的讲义》集曲线和曲面微分几何之大成。

变换理论对于微分几何的影响，产生了射影微分几何、仿射微分几何等分支。二十世纪初，出现了对非充分光滑曲线和曲面以及曲线曲面的整体问题的研究，形成现代微分几何。1923年，嘉当提出了一般联络的理论。1945年，陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，他又是纤维丛概念的创建人之一。

4、函数论

函数论包括复变函数论和实变函数论，但有时也单指复变函数论(或复分析)而言。

复数概念出现于16世纪，但对它的全面掌握和广泛运用，却迟至18世纪。自变量是复数的函数，叫做复变函数。如果复变函数在某一区域内除了可能有有限个例外点之外，处处有导数，那么这个伏辩函数叫做在这个区域内的解析函数;例外点叫做奇点。复变函数论主要研究解析函数的性质。

复变函数的研究是从18世纪开始的。30～40年代，欧拉利用幂级数详细讨论了初等复变函数的性质。达朗贝尔于1752年得出复变函数可微的必要条件(即“柯西—黎曼条件”)。拉普拉斯也考虑过复变函数的积分。

复变函数的全面发展是在19世纪。1825年，柯西讨论了虚限定积分，1831年他实质上推出了柯西积分公式，并在此基础上建立了一整套复变函数微分和积分的理论。黎曼1851年的博士论文《复变函数论的基础》，奠定了复变函数论的基础。他推广了单位解析函数到多位解析函数;引入了“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变因数的几何理论基础;证明了保角映射基本定理。威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观，以幂级数为工具，用严密的纯解析推理展开了函数论。定义解析函数是可以展开为幂级数的函数，围绕着奇点研究函数的性质。近几十年来，复变函数论又有很大的推进。

复变函数论是解决工程技术问题的有力工具，飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等中的很多问题。

实变函数的发展较晚，其中积分论是它的重要组成部分。容度和测度是线段长度概念的推广，是为了推广积分的概念而建立起来的。1893年，约当给出了“约当容度”的概念，并用于讨论积分。1894年，斯提捷首先推广了积分概念，得到了“斯提捷积分”。1898年，波莱尔改进了容度的概念，他称之为‘测度”。下一步决定性的进展是1902年勒贝格改进了测度理论，建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”等概念。1904年，他完全解决了黎曼可积性的问题。后来，数学家们对积分的概念又作了种种推广和探索。

实变函数的另一个领域是函数构造论。1885年，威尔斯特拉斯证明：连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。这一结果和切比雪夫斯基最佳逼近论，是函数构造论的开端。近年来，这个方向的研究十分活跃。

5、泛函分析

本世纪初，出现了一个广阔的新领域——泛函分析，它是古典分析观点的推广。近几十年来，由于分析学中许多新分支的形成，从而发现在代数、几何、分析中不同领域之间的某些方面的类似。其次，几何与集合论的结合产生了抽象空间的理论，将函数看成函数空间中的点。再加上实变函数论以及近世代数的感念和方法的影响，就产生了泛画分析。它综合函数论，几何和代数的观点，研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论。

19世纪末，弗尔太拉和二十世纪初阿达玛的著作中已出现泛函分析的萌芽。随后希尔伯特、海令哲开创了“希尔伯将空间”的研究，黎斯、冯·诺伊曼等人在这方面都有重要的建树。