2012-12-12
收藏
碰到一个数学游戏:有9根火柴,两人轮流取,每次可取1根或2根或3根,火柴取完后,取得总数为偶数者胜。
在把这个问题搞清楚后(这个问题是后手必胜),我在想,能不能研究一般情况?即对任意多根火柴,应该如何研究?结论如何?为此,进行了如下研究:
定义两个符合A(i)和B(i)分别用来表示对于i根火柴而言,先手最后能否取得奇数根和偶数根,具体的说,如果对于i根火柴,按上述要求取,先手有办法保证最后能取得奇数根,则A(i)=1,反之,A(i)=0,而如果对于i根火柴,按上述要求取,先手有办法保证最后能取得偶数根,则B(i)=1,反之,B(i)=0。
显然有:
A
(1)=1B
(1)=0即对1根,先手可以保证取得奇数根,但不能取到偶数根。
A
(2)=1B
(2)=1即对2根,先手可以保证取得奇数根(取1),也能取到偶数根(取2)
A
(3)=1B
(3)=1即对2根,先手可以保证取得奇数根(取3),也能取到偶数根(取2)
对于4根而言,先手取掉一轮后,根据所取根数不同,总会变成1根或2根或3根的状态,先手4根想取得奇数根,必须在这三种状态中找到一种使对方取不到偶数的状态。由B
(1)=0知,这种状态是存在的,于是先手四根只要取掉三根,对手面临1根的情况,而B
(1)=0,这种状态下对方无法取得偶数,从而先手4根必可取得奇数根,即A
(4)=1。下面考虑B
(4),即先手4根能否取到偶数,取决于对手能否取得奇数,同样,先手四根取一轮后,也会变成1根或2根或3根的情况,而A
(1)A
(2)A
(3)均取1,无论先手四根变成取1或2或3,后手均可取得奇数根,这样先手四根也只能取奇数根,于是B
(4)=0。
以上分析对于i是偶数的情况是通用的,即对于任意大于2的偶数i,如果B(i-1),B(i-2),B(i-3)中有一个取0,那么A(i)=1,否则,A(i)=0.而对于任意大于2的偶数i,如果A(i-1),A(i-2),A(i-3)中有一个取0,那么B(i)=1,否则,B(i)=0.
我们可以分析一下A
(5)的情况,先手取一轮后,必变成2根或3根或4根的情况,由于5是奇数,先手要想取到奇数根,必让对手取不到奇数根,而A
(2),A
(3),A
(4)均等于1,即无论先手5将局面变成哪种情况,后手都可以取到奇数根,从而先手5不能保证取到奇数根,即A
(5)=0。同样的分析,B
(5)=1
以上分析对于所有的奇数是通用的。即对于任意大于3的奇数i,如果A(i-1),A(i-2),A(i-3)中有一个取0,则A(i)=1,否则,A(i)=0。而对于任意大于3的奇数i,如果B(i-1),B(i-2),B(i-3)中有一个取0,那么B(i)=1,否则,B(i)=0.
有了以上分析,不难得出以下结论:
A
(1)=1B
(1)=0
A
(2)=1B
(2)=1
A
(3)=1B
(3)=1
A
(4)=1B
(4)=0
A
(5)=0B
(5)=1
A
(6)=1B
(6)=1
A
(7)=1B
(7)=1
A
(8)=0B
(8)=1
A
(9)=1B
(9)=0(这个结论就表示对9根而言,先手无法保证取到偶数,即原题中后手胜)
继续往下写,可以发现,以上取值情况以8为周期循环。这样,这个问题就得到了解决。
高一数学下册第二单元知识点归纳总结
高一数学下册:交点坐标与距离公式知识点
高考数学提分技巧 高考数学提分攻略
高考数学公式:平方差公式
高考数学易犯的错误(3)
必备2017小升初数学法则知识归类
精选六年级上学期数学期末复习要点:扇形统计图
高三数学一轮复习试题:圆锥曲线综合问题
2017小升初数学易丢分的知识点
高考状元支招:为什么总是学不好数学?
2017中考数学模拟试题及答案(四)
高考数学知识点:必修一函数知识点总结
高三数学题:深度分析创新题
高考数学必备:高考数学公式大全(4)
高考数学公式:排列组合公式
西师大版一年级上册数学期末测试卷
高考数学必备:高考数学公式大全(5)
2017备考:高考数学五大主要解题思路
高考数学易错易混考点:三角函数
高考数学易犯的错误(2)
高一数学资源:嘉峪关市一中2011-2017学年第一学期期中考试
新课标人教版小学二年级下学期数学全册教学设计
高考数学练习题:函数的性质
高一数学期末复习:基本初等函数
高考数学:圆锥曲线相关结论汇总
2017中考数学一轮模拟练习题(汇编)
高一数学集合知识点梳理:无限集
数学不好,那是因为没有掌握正常的学习方法
湘教版高一数学第三章知识点整理:第一节
2017中考数学模拟试题及答案(三)
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |