2015-04-01 收藏
我国是世界上最早的文明国家之一。很早以前,我们的祖先在渔猎农事活动中就接触到了计算和测量,并在这方面积累了大量的知识。
万里长城和大运河是我国古代文明的伟大成就。战国时期战争连绵,燕、赵、秦三国为了抵御来自北方的侵扰,建筑了长城;秦始皇统一全国,把它们连接起来。后来,汉朝和明朝都大规模修筑过长城。长城由西至东,在险峻起伏的山岭上绵延数千公里,是世界上仅有的巨大土石建筑。沟通南北的大运河,长达一千七百多公里,朴实壮观,是非常杰出的水利工程。我国人民在长城和运河的建造过程中积累了大量的几何测量、数字计算和土木工程方面的知识。
我国古代的计算不是用记数文字直接进行,而是用算筹,很有特色。在开始的时候,人们是用一些小树枝来计数,一根小树枝代表一头牲畜、一堆谷物或者一件农具。后来,逐渐形成了一套计算方法,小树枝也慢慢变成了竹制、铁制、牙制的小棍,外形规格齐整,这就是算筹。
筹算可以进行整数和分数的加、减、乘、除、开方等各种运算。直到元、明以前,筹算一直是我国的主要计算方法。
筹算的记数法既是十进,又按位值分别表示不同单位,和现代记数法相似。著名的数学著作《九章算术》,大约编于公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用问题集的形式编的,共有二百四十六个问题,分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。
方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算;粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算;衰分章讲的是一些按比例分配的问题;少广章讲的是由已知面积和体积,反求边的长短和面的宽广的问题,其中总结出了开平方和开立方的方法;商功章讲的是计算各种体积的方法,主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题;均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法;盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用;方程章讲的是正负数算法,还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理,以及相似直角三角形解法的问题。
《九章算术》的内容丰富多彩,包括了许多算术、几何、代数和三角的知识,是一部非常杰出的数学专著,它对我国数学的发展影响深远。
《九章算术》不只在中国数学史上占有十分重要的地位,而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。欧洲在中世纪的一些算法,比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中,把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证明。现在,《九章算术》已作为世界科学名著,被译成许多种文字出版。
《周牌算经》是我国另一部有名的天文学、数学著作,大约时在公元前一百年前后的西汉年间成书。书里明确给出了勾股定理的一般形式,即勾?+股?=弦?。
书中介绍了在两地利用标杆测出日影、再进一步利用勾股定理,算出太阳高度的方法,即书中还谈到了用一根直径一寸、长八只的中空竹管观测太阳,太阳的圆影正好与竹管的视线吻合,再进一步利用勾股定理推算出太阳的直径来。这说明我们的祖先至少在西汉年间,就能正确地应用直角三角形的勾股定理了。
等到三国时代,吴国人赵爽用几何方法对勾股定理进行了相当严格的论证。公元前五百年,春秋战国时代的学者已经有了相当丰富的数学知识。庄子《天下篇》中有“一尺之捶,日取其半,万世不竭”的记载。意思是一根一只长的木棍,每天截掉一半,千年万载也截不完。直到今天,人们还常把“日取其半”作为了解“极限”思想的典型例子。
大约在四千五百到三千五百年前的这段时期里,我国发明了第一辆车子。另外,从我国出土的许多殷代以前的陶器上也能看到不少圆形图案。这说明很早以前,我们的祖先就认识圆了。
在《周辨算经》周公和商高的对话中,谈到“周三径一”,这是我国最初的圆周率,被称为古率。后来,圆周率数值的精确性不断得到提高。
我国最早用严密的数学方法来求算圆周率数值的是刘徽。他认为古率为3,是圆内接正六边形的周长对直径的比值,这比圆周长对直径的比值要小得多。
刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分,做出圆内接正十二边形,利用勾股定理求出它的边长。同理,可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长。内接正多边形的边数越多,求出的圆周率数值也就越准确。这就是刘徽的“割圆术”。
“割圆术”用折线逐步逼近曲线,用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积,这种用有限来逼近无限的方法,不仅提供了比较精确的圆周率的数值,而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础。
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