2014-06-12
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【小编寄语】:查字典数学网小编给大家收集了最新的趣题巧解:中考题三角函数,希望内容能够帮助到同学们的学习,欢迎阅读学习。
求三角函数的定义域和值域
【例1】 求下列函数的值域
(1)y=2sinxcos²x/(1+sinx)
(2)y=sin²x+2sin xcos x+3cos²x
【解答】
(1)原式=2sinx(1-sinx)=-2sin²x+2sinx=-2(sinx-1/2)²+1/2,∵-1≤sinx≤1,∴y∈(-4,
(2)y=1+2cos²x+sin2x=1+cos2x+1+sin2x=2+√2sin(2x+π/4),∴y∈[2-√2,2+√
三角函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)=sin²x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-cos²x-√3,求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间。
【解答】f(x)=-cos2x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-√3=2√3sin²(x+π/4)-cos2x-√3=√3[1-cos(2x+π/2)]-cos2x-√3=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6),∴T=π,单调递减区间为[kπ+π/3,kπ+5π,k∈Z
【例2】设a∈R,f(x)=cosx(asin x-cos x)+cos²(π/2-x),满足f(-π/3)=f(0),求函数f(x)在[π/4,11π上的最大值和最小值.
【解答】f(x-=asin2x/2-cos²x+sin²x=asin2x/2-cos2x,∵f(-π/3)=f(0),∴a=2√3,∴f(x)=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6),∴x∈[π/4,11π,∴2x-π/6∈[π/3,3π,所以f(x)min=√2,f(x)max=2
【小度提示】
① 熟记y=sin x,y=cos x,y=tan x的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础.
② 求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间即可,注意A的正负以及要先把ω化为正数.求y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k的单调区间类似.
三角函数的周期性和奇偶性
【例题】设函数f(x)=cos ωx(√3sin ωx+cos ωx),其中0<ω<2。
(1)若f(x)的周期为π,求当-π/6≤x≤π/3时,f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x=π/3,求ω的值.
【解答】
(1)f(x)=√3sin2ωx/2+cos²ωx=√3sin2ωx/2+cos2ωx/x+1/2=sin(2ωx+π/6)+1/2,∵T=π,∴ω=1,∴f(x)=sin(2x+π/6)+1/2,x∈[-π/6,π,∴2x+π/6∈[-π/6,5π,∴f(x)的值域为[0,
(2)2ωx+π/6=π/2+kπ,∴2πω/3+π/6=π/2+kπ,ω=1/2+3k/2,k∈Z,即0<1/2+3k/2<2,-1/3
求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义;
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π/|ω|。
(3)利用图象.
三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形。正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用。
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