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退到最简单的情况去考虑

2016-10-26 收藏

我们先来做一个游戏。

两人相继轮流往长方形桌面上放同样大小的硬币。硬币一定要平放在桌面上,后放的硬币不能压在先放的硬币上。这样继续下去,最后桌面上只剩下一个位置时,谁放下最后一枚,谁就是胜利者。

你不妨把这个游戏反复做几遍,你能从中悟出什么道理吗?

谁胜谁负,似乎全靠碰运气。其实,取胜的规律是确实存在的。我们设想,如果这桌子小到只能放下一枚硬币,那么第一个放的当然会获胜。然后设想桌子变大,由于长方形是中心对称图形,先放者将第一枚硬币放在桌面的对称中心上,继而每次都把硬币放在后放者所放硬币位置的对称位置上。这样继续下去,桌面上只剩下一个位置时,必然轮到先放者放最后一枚硬币。

在这里,我们首先把一个复杂的问题退到最简单的情况,由此获得启发,进而找到解决问题的正确途径。华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。

现在,请你用一条直线将一个矩形分成全等的两部分。当然,这样的直线我们能画出很多条,你能说出所有这些直线的特征吗?

这个问题也许你不能立刻回答,那你不妨先退到最简单的情况,先画出一些特殊的直线,例如矩形的对角线、矩形对边中点的连线,这些直线都能把矩形分成全等的两部分。如果我们把这些直线画在同一图形中(如图1),你就会发现,它们都

退到最简单的情况去考虑1

经过矩形的对称中心O,这时你会猜想,经过矩形对称中心O的直线l,一定能将矩形分成全等的两部分(如图2)。事实上,由于矩形是中心对称图形,将图2中的四边形EBCF绕矩形的对称中心O旋转180o,就能够和四边形FDAE完全重合,也就是说这两个四边形全等。

我们再来看一个问题,当n是正整数时,你能说出退到最简单的情况去考虑2的整数部分是多少吗?

我们同样先把问题退到最简单的情况:

 退到最简单的情况去考虑3 ......

你马上就会发现

 退到最简单的情况去考虑4

这个发现正确吗?当然还需要进行证明:

退到最简单的情况去考虑5

由此我们知道,当n为正整数时,的整数部分是n。

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