“±1”的妙用_数学家故事

“±1”的妙用 2016-10-26 收藏

桌上放着8只茶杯。全部杯口朝上，每次翻转其中的4只，只要翻转两次，就把它们全都翻成杯口朝下。

如果将问题中的8只改为6只，每次仍然翻转其中的4只，能否经过若干次翻转把它们全部翻成杯口朝下？

请动手试验一下这时你会发现经过三次翻转就达目的。说明如下：

用1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，这三次翻转过程可以简单地表示如下

初始状态 +l，+l，+l，+l，+l，+l

第一次翻转 -1，-1，-1，-l，+l，+1

第二次翻转 +1，+1，+1，+1，-1，-1

第三次翻转 -l，-l，-1，-l，-l，-1

如果再将问题中的8只改为7只，能否经过若干次翻转（每次4只）把它们全部翻成杯口朝下？

几经试验，你将发现，无法把它们全部翻成杯口朝下。

是你的“翻转”能力差，还是根本无法完成？

“1”将告诉你：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口朝下。

道理很简单。用1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，问题就变成：“把7个1每次改变其中4个的符号，若干次后能否把它们都变成-1？”考虑这7个数的乘积，由于每次都改变4个数的符号，所以它们的乘积永远不变（即永为+1），而全部杯口朝下时7个数的乘积等于-1，这是不可能的。

道理竟是如此简单，证明竟是如此巧妙，这要归功于“l”语言。

中国象棋中的马走日字，在对弈时你发现下面这种现象没有？──

马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步。

1语言也可帮你证明这个结果：

象棋盘共有910=90个位置，相邻位置用符号不同的数（+l与-1）来表示（图中所有实心圆点位置用+l表示，

“±1”的妙用1

余者用-l表示），那么象棋马从任何一个位置，每走一步就要改变符号。就是说，棋子马要想不变符号，必须走偶步。而马自某个位置跳起，再回到原来位置，符号不变，故得结论：马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步。

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