第十二章　轴对称

12．1 轴对称(1)

教学目标

①通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴．

②了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．

③经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．

④体验数学与生活的联系、发展审美观．

教学重点与难点

重点：轴对称的有关概念；

难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别．

教学准备

教师：收集有关轴对称的素材(包括图形、实物、图片等)．

学生：准备复写纸；收集有关窗花的素材，并要求进行剪纸----双喜字或其他窗花．

教学设计

作品展示，交流体会

1．作品展示：让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)；

2．小组活动：

(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?为什么要这样?

(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?

注：通过对收集材料、剪纸操作，增加学生对轴对称图形的感性认识，为轴对称概念的引出作准备．

活动的目的一是为了交流，更主要的是说出(发现)“对称”．

概念形成

(一)轴对称图形

1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．

注：在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳，这本身也是一种能力的培养和对轴对称的理解．教学中应该有意识地加以渗透．

2．结合教科书第118页图12.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．

3．学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．

4．概念应用：(1)教科书第119页练习；

(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形?并简要说明理由．

注：对于一个概念的建立，让学生经历“实物概括应用”的过程，符合学生的认识规律．

(二)两个图形关于某条直线对称对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：先观察图形，再进行画图．其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义，比较合理．

1．观察教科书第119页中的图12.1-3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点?

2．操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系?

3．两个图形成轴对称的定义．如下图，图形F与图形F

就是关于直线l对称，点A与点A是对称的．

4．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?

5．练习：教科书第120页．

辨析概念

分组讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．

讨论后可列表比较如下：

轴对称图形 两个图形成轴对称

区别 一个图形 两个图形

联系 1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合(即直线两旁的两部分全等)

2．都有对称轴(至少一条)

3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形

注：通过讨论、比较，便于进一步理解概念，弄清它们之间的联系和区别，以突破本课的教学难点．采用小组讨论的目的意在引导学生参与，改变学习方式，发挥更佳的学习效果．

实践和应用

1．下列图片是生活中的一些建筑物，它们是轴对称图形吗?

2．下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?

奔驰　宝马大众　奥迪

3．下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴．

4．请在下图这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。

注：这是从数字1到7组成的轴对称图形，问题有一定的难度，需要学生有较强地观察、辨别能力．

归纳小结

通过本节课的学习，你有什么收获?

主要围绕下列几个问题:

1．概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点．

2．找轴对称图形的对称轴．

布置作业

1．必做题；

(1)教科书第125页第1、2题，第126页第6题．

(2)收集3～5幅轴对称的图形．

2．选做题

设计1～2个轴对称的图案．

作业的设计从知识性和趣味性两个方面去考虑．

3．备选题：

备选题主要是为教师提供一些教学的素材．

(1)下列图形是不是轴对称图形?如果是，请找出它的对称轴．

(2)按如下方法操作，剪一个轴对称图形：

12.1 轴对称(2)

教学目标

①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．

②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．

③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．

④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．

教学重点与难点

重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．

难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．

教学准备

探究活动所需的木棒、橡皮筋(如教科书第121页的图12.1-6，第122页的图12.1-8)．

教学设计

提出问题

1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．

注：由于本课知识的教学是建立在上一节内容的基础之上，所以安排了两个复习的问题，为问题3的提出做好准备．

2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△AC关于直线MN对称)

3．如图，△ABC和△AC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系?

注：提出问题3并不要求学生马上回答，而是为下一步的探究作准备，如果学生凭观察得出猜测，那么可以通过下一步的实验进行验证．

实验探究

1．折一折．

要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A关于直线MN对称．连结点A，A，交直线MN于点P．

注：这里采用让学生动手折一折，目的是让学生在折纸中体验对称性．先选取一个点进行实验，一是解决一个点，就解决了其他的点，二是从简单入手分析问题本身是我们处理和解决问题的一种手段．

2．说一说．

观察图形，线段AA与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗?

(让学生能说出如下关系：AP=PA，MPA=MPA=90)

类似地，点B与点B，点C与点C是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?

(对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段)

注：在这个基础上，教师给出垂直平分线的概念，然后把上述规律概括成图形轴对称的性质(教科书第121页)

3．想一想．

上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?

(结合教科书第121页的图12.1-5让学生说明)

从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线．

注：从折一折到说一说、想一想，其意图是把这个教学过程设计成让学生主动地参与进来，转变以往的学习方式．

合作探究

探究一：教科书第121页的“探究”．

学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究．任意画一条线段AB，再画出它的垂直平分线MN，在MN上任意取点P1，P2，P3(如图4)，分别量一量点P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现?你能说明理由吗?请与同伴交流．

处理方式：要求学生在独立尝试、独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报．学生可以量一量、折一折，也可以运用第十三章的知识证明三角形全等．

在学生充分讨论的基础上归纳出：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

注：合作与交流是目前课堂教学中比较缺乏的一种教学方式，在教学中应创造条件引导学生积极参与，同时教师应组织好，引导好．把垂直平分线的性质与全等三角形的知识结合起来，既能复习以往的知识，又能使新知识得到应用，便于加深对新知识的理解和掌握．

想一想：如图5，我们在教科书第99页的练习1中,应用三角形全等的知识说明了CB=CB，你能运用今天所学的知识给出解释吗?

问题：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?

探究二：如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB有怎样的位置关系?

注：由于教科书第122页上的探究活动实际上是这样的一个数学问题：“如图6，已知OA=OB，PA，PB满足什么条件时，OPAB?”这与上述命题的逆命题不完全一致，所以本设计改用直接的数学问题．

学生可以运用三角形全等的知识判定△PAO≌△PBO，从而有POA＝POB＝90，于是POAB，即PO是线段AB的垂直平分线．从而得出：

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

归纳结论：见教科书第122页的最后一段话．

(注意：应该从正逆两个角度，结合具体的图形进行归纳)

教科书第122页的最后一段话比较抽象，以教师讲解为主，可以结合角平分线的性质．

处理方式：在教师的引导下，由学生讲述解题方法，教师给出解题过程．

3．练习：教科书第123页．

小结提高

让学生从以下几方面去思考：

1．本节课你学到了什么?

(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图形的性质、垂直平分线的性质)；

(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际问题的联系．

2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系(如全等三角形)．

作业布置

1．必做题：教科书第125页第3题，第126页第5、9题．

2．选做题：教科书第126页第11题，第127页第12题．

3．备选题：

(1)图8是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，POAB，则必有AO＝BO，为什么?

(2)如图9，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长．

(3)有A、B、C三个村庄(如图10)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．

12.1 轴对称(3)

教学目标

①了解线段垂直平分线的画法．

②会画两个成轴对称的图形(或一个轴对称图形)的对称轴．

③通过画图和欣赏，陶冶学生的审美情操．

教学重点与难点

重点：画图形的对称轴．

难点：对对称轴画法的理解．

教学设计

提出问题

问题1：如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证?

问题2：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴?

问题1是让学生能说出折叠法验证，这一方面是复习轴对称的知识，另一方面也是加深对轴对称的理解．提出问题2是引起学生的思考，以引出新课．

学习新知

我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了．如何画一条线段的垂直平分线呢?

例1(补充)已知线段AB(如图1)，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．

图1

教科书第123页上的例题是以线段的垂直平分线为基础的，所以这里就先给出线段的垂直平分线的作法，而这也恰恰是课标要求的基本尺规作图之一．

可按如下的步骤进行：

(1)教师启发：根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可．

(2)作图示范．写出作法，根据作法一步一步地作出图形．

(3)解后反思：①在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?

②如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点；

③你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗?

注：反思是一种重要的思维品质，也是我们传统的教学所缺乏的．这里安排反思，一是有利于对作法的理解，一是有利于对学生思维发散性的培养．在完成补充例题的基础上把例题改成练习，不失为一种处理的好方法．

解决问题：

练习：教科书第123页中的例题．

例2(补充)如图3，△ABC和△AC是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．

图3 图4

处理方法：启发学生把这个问题转化为已解决的问题．

只要画出点A，A的对称轴即可．

注：补充这个例题是为了应用例1的方法，同时也是回答了开始

提出的问题，更可以说是给出一种画轴对称图形的对称轴的通法．

问题：上述提到的都是两个成轴对称的图形，如果是一个轴对称

图形，你怎样画出它的对称轴?如图5所示的正五角星有几条对称轴?

图5

实践和应用

1．练习：教科书第124页．

2．正比例函数y=2x的图象与y=-2x的图象是不是轴

对称图形?如果是，它的对称轴在哪里?如果不是，请

说明理由．已知正比例函数y= x的图象如图6所示，

你能根据对称性作出正比例函数y=- x的图象吗?

注：将函数图象与图形的轴对称结合起来，一方面是

对前面知识的应用,另一方面也是加深学生对轴对称

图形性质的理解．

图6

师生小结 主要围绕以下几点进行归纳：

1．线段垂直平分线的作法；

2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法：

(1)将图形对折；

(2)用尺规作图；

(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．

3．有许多图形的对称轴不止一条．

注：通过小结，突出本节课的内容和方法，同时也是对所学知识的提炼和延伸．

作业布置 1．必做题：教科书第125页第4题，第126页第7、8题；

2．选做题：教科书第126页第10题；

3．备选题：

(1)在等腰三角形、等腰梯形、线段、数轴、平面直角坐标系、平行四边形等图形中，轴对称图形的个数是 ( )

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

(2)下列图形是轴对称图形吗?如果是，请画出它的对称轴．

3．图7是不是轴对称图形?如果是，请画出它的对称轴．

12．2作轴对称图形

12.2.1 作轴对称图形(1)

教学目标

①通过动手操作体验轴对称变换．

②能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形．

③能利用轴对称变换设计一些简单的图案．

④通过图案设计等活动，培养学生的动手操作能力、审美及数学兴趣，发展学生的空间观念．

教学重点与难点

重点：作一个图形经轴对称变换后的图形．

难点：通过动手操作总结轴对称变换的特征．

教学准备

剪刀、画有一个简易风筝的半透明的纸．

教学设计

创设情境,引入新课

多媒体介绍剪纸文化艺术：剪纸是中国最为流行的民间艺术之一，根据考古其历史可追溯到公元六世纪，甚至更早．在过去，人们经常用纸做成形态各异的物像和人像，与死者一起下葬或葬礼上燃烧，还被用作祭祀祖先和神仙所用供品的装饰物．现在，剪纸更多地是用于装饰，也可为礼品作点缀之用，甚至剪纸本身也可作为礼物赠送他人．剪纸不是用机器而是由手工做成的，常用的方法有两种：剪刀剪和刀剪．学生欣赏展示的剪纸图片，教师提出问题：如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?相信同学们学了本节课后你也能剪出如此漂亮的剪纸!

引入新课，板书课题：轴对称变换．

注：让学生了解剪纸艺术，认识我国悠久灿烂的民族文化，了解我国优秀的民间手工艺术．培养学生的审美，激发学习兴趣．

动手操作,感受变换

请学生拿出画有一个简易风筝(如图形状)的半透明的纸，把这张纸对折后描图．学生画好后打开对折的纸．

注：采用风筝图便于学生画图，在动手操作中体验轴对称变换，发现轴对称变换的特征，在实践中体验学习的快乐，也使轴对称特征的得出显得更直观，更具体．也为下面画轴对称变换后的图形提供感性认识．

请学生仔细观察回答下列问题：

(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(学生回答后，师生补充得出：画出的图形与原图形关于折痕轴对称，折痕所在直线是对称轴)

(2)两个图形成轴对称有什么特征?(学生回答后，让学生找出几个对应点，并连结对应点进行验证．)

注：我们可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．(多媒体演示如下图经多次重复后的图形)，让学生感受运用所学知识设计出这些美丽的图案其实并不难!

如果改变对称轴的方向和位置，结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠，描图，打开纸．你发现了什么?

学生交流后，总结归纳出：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

注：让学生感受改变对称轴的方向和位置，不改变轴对称变换的特征．同时通过交流，培养学生的语言表达能力，归纳能力．

提升思维,运用变换

老师引出轴对称变换的概念，并指出：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．

老师提出问题：刚才的风筝图，要画经过轴对称变换后的图形，除了刚才所用的描图的方法外，还有哪些方法?

学生试着说一说后，出示例1：

如图，已知ABC可以和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．

通过前面的印图案、说特征等活动，使学生时经轴对称变换后的两个图形具有一定的感性认识，在具有一定认识的基础上以及根据轴对称图形的特征能发现画图方法．培养学生的发散思维．

如果将△ABC的位置移至如图2、3、4时，你还能作出关于直线l对称的图形吗?画出后如何验证是否正确?

图1 图2 图3 图4

注：通过练习，使学生学会运用轴对称变换画图，培养学生思维的流畅性，体验变换思想．

画图后让学生归纳画图要点，学生回答后，教师总结：一个平面图形都是由一些线组成，而点动成线，所以，要画一个图形经轴对称后的图形，只要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点即可．

注：通过归纳要点，找到规律，形成方法．

练习1：把下列图形补成关于直线l对称的图形．

．

练习2：如图，左边的树经过几次轴对称变换，可以变成右边的树?你能设计一种变换方案吗?

请学生探索，可以小组合作完成．学生回答时经过几次变换不重要，只要讲得有道理即可．

注：问题的设计促使学生去分析图形，分析轴对称，拓展思维．

运用变换,设计图案

利用轴对称变换，可以设计出精美的图案．有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更美丽的图案，许多镶边和背景的图案就是这样设计的．(多媒体放映图片)

注：感受通过轴对称变换可以设计出一些美丽的图案，激发学生设计的欲望．

问题：展开你的想像，从一个图形或几个图形出发，利用轴对称变换，设计出一些图案，并与同学交流．

本节课开始时放映的一些剪纸，你能利用所学知识想办法剪出来吗?课后去剪一剪．

注：运用轴对称知识设计图案，体现学以致用思想，培养学生的创造性思维．

归纳小结

1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．

2．经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分．

3．画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些点，作出这些点的对称点．

注：通过小结归纳，巩固轴对称图形的性质和画图方法．

布置作业

1．必做题：教科书第135页习题12．2第1题，第136页第5题．

2．选做题：(1)教科书第137页第8题．

(2)请你利用所学知识剪一个“双喜”字．

3．备选题：

(1)分别以直线l为对称轴，将数字作轴对称变换，作出变换后所得的图形．

(2)已知直线l和图形X(如图)，将图形X以直线l为对称轴作轴对称变换后得到的图形是 ( )

A． B． C． D．

(3)利用轴对称变换画出花瓶图的另一半．

12.2.1 轴对称变换(2)

教学目标

①能作出一个图形经轴对称变换后的图形．

②能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题．

③通过找合适点的探究活动，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力，在活动中培养学生的合作交流能力．

教学重点与难点

重点：利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题．

难点：使输气管道线最短的泵站位置的确定及说理．

教学设计

承上启下，引入新课

问题：

(1)把下列图形补成关于直线l对称的图形．

注：温故旧知，为学习新知作准备．

(2)画好后请仔细观察第二个图形，从图中你能

尽可能多地找出一些关系吗?

利用轴对称变换以及变换后所得的一些特征，我

们可以解决许多实际问题．

引出输气管问题．

注：尽可能地从图中发现一些关系，找这些关系为后面突破本节课的难点，也就是为什么C点是输气管道线最短的泵站位置的说理作准备．

动手探究,寻找规律

问题：如右图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气(A、B两镇在燃气管道l两旁)，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

注：本节课中的例题起点较高，设计这个问题一是为了降低起点，而且也为后面这个实际问题的解决作准备，因为后面这个实际问题的解决实际上是通过轴对称变换，把同侧问题转化为两侧问题来解决．

学生回答说理后提出问题2：

如果A、B两镇在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?(如下图)

注：由A、B在直线l的同侧过渡到两侧，顺应学生的思维发展特征．

让学生独立思考片刻后，请学生小组合作，任意取点探究，并完成表格．

APi BPi APi+BPi

i=1

i=2

i=3

i=4

注：引导学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．设计表格的目的一是为了增强学生在活动中的数学体验，使学生在动手操作过程中学会理性思考，也便于学生发现规律．

小组合作学习后，汇报结果，找出所建泵站位置．

小结：在直线l同侧到两点距离之和最短的点的位置是：作其中一点关于直线l的对称点，此对称点与另一点的连线与直线l的交点，即为到两点距离之和最短的点的位置．

问题：为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢?

启发：也就是说在其他点修建泵站C，则总有AC+BCAP+BP．

任意取点验证使学生体验不管C在何处，都有AC+BCAP+BP的结论.

注：说理的过程使学生养成严谨的思雏习惯，使之知其然且知其所以然．

请学生在直线上任意取点验证、说理后，几何画板演示．

教师总结：这个问题实际上是通过轴对称变换，把A、B在直

线l同侧的问题转化为在直线l两侧的问题，即利用“两点之间线段最短”加以解决．

注：总结方法，体验转化思想，达到做一题、会一类的效果．

拓展应用，巩固提高

八年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如下图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地?

巩固新知，面向全体．

解决后提出问题：

如果另一侧放着一些小木棍，小明还要跑到另一侧去取小木棍，则又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球、小木棍，才能最快跑到目的地?你能说说为什么吗?

注：提升学生的思维，使学生真正感悟利用轴对称解决实际问题的方法，也为了体现不同的学生在数学上得到不同的发展．

总结归纳．共同提高

通过这节课的学习说说你的收获：

使我感触最深的是……

我感到困难的是……

我学会了……

我还感到疑惑的是……

我发现生活中……

我想我将……

注：培养学生自我反馈、自主发展的意识，使学生在知识、方法技能、情感和态度等诸多方面得到发展．

布置作业

1．必做题：教科书第136页第7题．

2．选做题：教科书第137页第9题．

3．备选题：

(1)如右图，直线l表示草原上的一条河．一少年以A处出发，让他的马去河边饮水，然后返回位于B处的家中．问这位少年按怎样的路线使总路程最短?请作出这条路线．

(2)如果我们把台球桌做成等边三角形的形状(如右图)，那么从AC中点D处发出的球，能否依次经BC，AB两条边反射后回到D处?如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球运动的路线．

12.2.2用坐标表示轴对称

教学目标

①能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点．

②能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标．

③在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法．

④在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习的乐趣．

教学重点与难点

重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

难点：找对称点的坐标之间的关系、规律．

教学准备

画有网格的平面直角坐标系图的练习纸．

教学设计

创设情境,引入新课

引言：同学们，我们的首都北京是大家都向往的地方，你们去过北京吗?让我们一起去北京逛一逛，好吗?(多媒体放映北京城，抽象出形象地图)引出问题：

老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗?

学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标．

用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，如工程建设的绘图等．

这节课我们就来学习用点表示轴对称．引入课题：用坐标表示轴对称．

注：以学生熟悉、向往的北京城地图引出新课，可以激发学生的学习兴趣，同时，使学生感受数学无处不在，数学就在身边．

合作探究,探索新知

(1)在直角坐标系中画出下列已知点．

A(2,-3)；B(-1，2)；C(-6，-5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，-3)．

(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点．并填写表格．

(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?

(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性说说你是如何检验的．

已知点 A(2，-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(3,5) E(4,0) F(0,-3)

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

注：问题的设计目的在于让学生经历动手操作、发现规律、检验正确性的过程．并通过画图、观察点的坐标，使学生体验数形结合思想，即通过画图、观察线段之间的关系得到对称点的坐标．已知给出的点分别位于四个象限以及x轴、y轴，具有一定的代表性，便于学生运用一般特殊----一般的思想去发现规律．

小组合作，总结规律：点(x，y)关于z轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形．

注：从动手操作、解决问题到总结规律，是一个思维提升的过程，是从感性上升到理性的过程．培养学生养成善于思考、善于总结、善于归纳学习方法的好习惯．

分享成果，巩固新知

看谁脑子转得快!

(1、2抢答)：

1．说出下列各点关于X轴、y轴对称的点的坐标：

(-2，6)，(1，-2)，(-1，3)，(-4，-2)，(1，0)

2．如下图，△ABC关于X轴对称，点A的坐标为(1，-2)，说出点B的坐标．

注：通过一定的练习使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标，即：能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点，能表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

(3、4书面练习)

3．如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)、B(-2，1)、C(-2，5)、D(-5，4)，分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形．

变式探究,提升思维

1．分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形．

2．你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?

3．如果作关于直线x=3(记为m)和直线y=-4(记为n)对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

注：规律的发现要重视学生的分析、说理，希望学生能通过寻找线段之间的关系来求点的坐标．

前面的学习是使学生画出点关于坐标轴对称的点,能表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

这个问题的设计把对称轴是坐标轴变成了直线x=3和y=-4，

希望学生也能用同样的方法加以解决，即再次体验数形结合思想，并拓展到直线x=m和y=n，使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标，而不是机械地通过记忆规律来解决．

规律：点(x，y)关于直线x=m对称点的坐标是(2m-x，y)，即若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线x=m对称，则m= ，y1=y2．

点(x，y)关于直线y=n对称点的坐标是(x,2n-y)，

即若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则x1=x2，n=

注：通过总结规律使学生达到做一题、会一类的学习效果，也使学生形成善于总结、归纳的良好学习习惯．

巩固练习：

如下图.1．请你画出下图关于y轴对称的图形，猜猜是什么图案?并说出一些对应点的坐标．

2．再画出此图案关于直线x=-2对称的图形．说出各点的坐标．

注：画出图案后是一只漂亮的蝴蝶，可以激发学生的学习兴趣，画图、说出点的坐标是为了培养学生思维的流畅性．

总结归纳

1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。

2．点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

注：归纳本堂课解题方法，总结知识要点．

布置作业:

1．必做题：教科书135页练习题第3题，习题12.2第

2、4、6题．

2．选做题：教科书136页综合运用第7题．

3．备选题：

(1)点(1，0)，(2，-3)，(-1，2)关于x轴对称的点的坐标是__，__，__．点(0，-3)，(-2，3)，

(1，-2)关于y轴对称的点的坐标是__，____.

(2)已知长方形ABCD关于y轴对称，平行于y轴的边AB长是6，点A的坐标是(-2，-1)，请你写出B、C、D三点的坐标．

(3)如右图，已知点的坐标A(2，2)，B(1，1)，C(3，-1.5)，D(3，2)．请写出A、B两点关于CD对称的点E、F的坐标，并在图中画出这两点．

(4)在坐标系中描出点A(-1，3)，B(5，-4)，c(-3，-1)，D(-1，1)，E(-3，5)，F(5，8)，连接AB，BC，AC，DE，EF，DF，请你判断所得的图形是轴对称图形吗?如果不是，请说明理由，如果是，请说出对称轴．

12.3等腰三角形

12.3.1 等腰三角形(1)

教学目标

①经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形．

②能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质．

③培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：等腰三角形的性质的探索和应用．

难点：等腰三角形的性质的验证．

教学准备

长方形的纸片、剪刀．

教学设计

剪一剪

师生拿出课前准备好的长方形的纸片，按教科书第120页的要求剪出△ABC．

动手剪纸，获得图形的直观感受，并为下面的折纸操作做好铺垫．

设问1：△ABC有什么特点?

学生思考后发现，上述过程中，剪刀剪过的两边是相等的，即△ABC中AB＝AC．像这样有两边相等的三角形叫等腰三角形．并结合△ABC介绍等腰三角形的“腰”“底边”“顶角”“底角”等概念．

注：结合亲自剪出的等腰三角形学习相关概念，加深印象．

折一折

设问2：△ABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?

让学生认识到动手操作也是一种验证方式．

注：学生思考、回顾剪纸过程，把等腰三角形ABC沿折痕对折，容易回答△ABC是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴．

猜一猜

设问3：你还发现了什么现象，继而猜想等腰三角形ABC有哪些性质?

学生讨论、汇报：

①B＝ 两个底角相等

②BD=CD AD为底边BC上的中线

③BAD＝CAD AD为顶角BAC的平分线

④ADB＝ADC＝90AD为底边BC上的高

注：训练学生文字语言与符号语言之间的互换．

用语言叙述为：

性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(可简记为“三线合一”性质)

注：培养学生归纳、概括能力．

证一证

设问4：你能用所学的知识验证等腰三角形的性质吗?

1．证明等腰三角形底角的性质．

教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证．

已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．

求证：B＝C．

师生共同分析证明思路并证明．

注：让学生经历命题证明的过程．培养分析、推理论证能力．

强调以下两点：

(1)利用三角形全等来证明两角相等．

为证B＝C，需证明以B，C为元素的两个三角形全等，需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形．

(2)添加辅助线的方法可以多样．

例如，常见的作顶角BAC的平分线，或作底边BC上的中线或作底边BC上的高等．让学生选择一种辅助线完成证明过程．

注：体验辅助线在几何论证中的作用．

2．证明等腰三角形的“三线合一”性质．

注：鼓励学生用多种方法证明．

用一用

练习1

(1)已知等腰三角形的一个底角是70，则其余两角为_______________.

(2)已知等腰三角形一个角是70，则其余两角为_______________.

(3)已知等腰三角形一个角是110，则其余两角为_______________.

注：及时巩固等腰三角形的性质并体验分类讨论的思想在解题的应用．

练习2(如图1)

(1)∵AB=AC，ADBC，_______________，_______________.

(2)∵AB=AC,BD=DC，_______________，_______________.

(3)∵AB=AC，AD平分BAC，_______________，_______________.

注：以填空的形式出现，让学生再次理解等腰三角形的“三线合一”性质的内涵．

出示课本122页例1

如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．

改编为：

(1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角．

(2)你能求出各角的度数吗?

注：改编课本例题，使问题更富层次性与探索性．

师生共同分析：

(1)已知中没有给出角度，需利用三角形内角和为180的条件来求具体度数，但由于未知数过多，需根据已知各边的关系寻找出△ABC的各角关系，由图中的三个等腰三角形的底角及外角性质，可设A=x，列方程解决．

(2)教师应强调此题图形特殊，只有顶角为36的等腰三角形才能满足．

注：使学生认识到从复杂图形中分解出等腰三角形是利用性质解决问题的关键．培养学生数形结合的能力和方程的思想．

议一议

等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?

由等腰三角形是轴对称图形，还可以得到等腰三角形中问题较复杂，引导学生合作探究，更深入地认识等腰三角形哪些线段相等?

作业

1．必做题：教科书第123页练习1、2、3．

2．选做题：教科书第150页习题12．3第8题．

分层次布置作业，满足不同学生的发展需求．

3．备选题

(1)已知等腰三角形的顶角是n，则底角为_________.

(2)已知等腰三角形的顶角比一个底角多15，则底角为_______.

(3)已知：如图，房屋顶角BAC=100，过屋顶A的立柱ADBC，屋檐AB=AC．

求顶架上的B，C，BAD，CAD的度数．

12.3.1 等腰三角形(2)

教学目标

①会阐述、推证等腰三角形的判定定理．

②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．

③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．

教学重点与难点

重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用．

难点：等腰三角形的判定与性质的区别．

教学准备

师生准备作图工具．

教案设计：

创设情境，提出问题

出示课本123页思考题．

学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?

注：以实际问题展开数学思考，突出数学与现实的联系．

学生猜想它们所对的边相等．

即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的两条边也相等．

注：引导学生类比等腰三角形性质定理进行猜测、叙述．

如何验证?

学生根据命题画出图形，并写出已知、求证．

已知：如图在△ABC中，C．求证：AB=AC

学生寻求证明途径．

注：引发学生思考，寻求验证途径．

探索分析,解决问题

1．分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两三角形，并证明它们全等．

注：让学生体验分析的重要性，逐步培养在几何证题中的分析能力．

学生深入讨论分析后发现：

此时辅助线可作ADBC于D；或AD平分BAC交BC于D；但不能作BC边上的中线．

2．得出等腰三角形的判定定理．

命题可以有以下几种叙述方法：

①如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”．(突出已知角与所对边的对应关系．)

②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(突出判定等腰三角形的功能．)

注：多种叙述方法，使学生更好地理解等腰三角形的判定定理．

教师提示：注意纠正语言上不严谨的错误，不要说成：“如果一个三角形有两个底角相等，那么它是等腰三

角形．”提高语言表述的严谨与科学．

应用举例,变式练习

出示教科书124页例2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

注：及时巩固，反馈调控．

让学生再次经历命题的证明过程．

引导学生根据命题画图，利用平分线的性质及“等角对等边”来证明。

小组合作：试改变上题的条件与结论，编出类似的问题．

注：开放性的变式训练，培养学生思维的发散性．

课堂练习,拓展引申

出示教科书第124页例3．

师生共同分析，问题解决之后，继而引导学生思考：

已知底边与底边上的高，你能用尺规作图方法作出这个三角形吗?

学生动手探索，师生共同讲评．

注：通过这道题练习，一方面使学生巩固等腰三角形的知识，另一方面掌握等腰三角形的尺规作法．

课堂小结,知识梳理

1．通过这两节课的学习，你学会了几种判断等腰三角形的方法?

2．你会比较等腰三角形性质定理与判定定理的联系与区别吗?

注：通过比较，加深对两者的认识．

布置作业,自我评价

1．必做题：教科书第125页练习1、2、3．

2．选做题：教科书第150页习题12.3第9、10题．

3．备选题：

①先求证以下三个结论，然后归纳你发现的结论．

(1)已知：OD平分AOB，EO=ED．求证：ED∥OB．

(2)已知：OD平分AOB，ED∥OB．求证：EO=ED．

(3)已知：ED∥OB，EO=ED．求证：OD平分AOB．

备选题参考答案：

①利用等腰三角形性质定理与判定定理以及角平分线的性质来证明．发现的结论为：OD平分AOB，EO=ED，ED∥OB．三者中已知任意两个就可推出第三个．(学生只要表述正确都应给以鼓励)

②如图，△ABC中ABC与ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．

求证：EF＝BE+CF．

③两个三角形，它们的内角分别为：(1)20，40，120；(2)20，60，100。．怎样把每个三角形分

成两个等腰三角形?画出图形试试看．

12.3.2等边三角形(1)

教学目标

①了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．

②会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．

③经历应用等边三角形性质的过程培养分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：等边三角形的性质和判定方法．

难点：等边三角形性质的应用．

教学设计

创设情境，提出问题

在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．

观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论?

类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法?

注：明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质．

探索分析,解决问题

学生先独立思考，在合作交流，归纳结论如下：

1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

2．等边三角形每一个角相等，都等于60．

3．三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．

其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．

注：合作讨论,培养归纳、表达能力．

课堂练习,反馈调控

1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?

①在边AB、AC上分别截取AD=AE．

②作ADE=60，D、E分别在边AB、AC上．

③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．

注：通过这道题练习，使学生应用等边三角形的多种判别方法．

2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB=PQ=QC=AP=AQ,求BAC的大小．

注：综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质．

分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得PAB=30．

学生口述、教师板演解题过程．

注：规范解题步骤，培养学生有条理地表达．

再问：你能说出每一步的依据吗?

学生思考、讨论、回答．

注：培养学生言必有据的良好习惯．

综合应用，巩固提高

出示教科书第126页例4．

学生阅读题目，画出数学图形，分析解题思路．

注：突出数学与现实的联系，培养分析问题、解决问题的能力．

课堂小结，知识梳理

通过这节课的学习，你学到关于等边三角形的哪些知识，它与等腰三角形有何联系与区别?

学生思考、讨论、整理．

注：再次体会等边三角形与等腰三角形的联系与区别．

布置作业，自我评价

1．必做题：教科书第127页练习1、2．

2．选做题：

(1)教科书第150页习题12.3第11题.

(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?

3．备选题：

(1)已知：如图等边△ABC，D、E、F分别

是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：

△DEF是等边三角形．

(2)已知：如图等边△ABC，D是AC的中点，

且CE=CD，DFBE．求证：BF=EF．

利用等边三角形和等腰三角形的性质证题．

(3)已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，

AE交CD于点N，BD交AC于点M．

①试找出图中相等的线段、相等的角．

②连结MN，图中还有等边三角形吗?

①相等的线段有：AB=AC=BC，DC=DE=CE，AE=BD,CM=CN．

图中有许多60的角．(学生能找出部分都应给以鼓励)

②△CMN为等边三角形．

12.3.2等边三角形(2)

教学目标

①经历猜测、验证的过程，理解含30锐角直角三角形的性质．

②学会应用含30锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题．

教学重点与难点

重点：含30锐角直角三角形的性质的应用．

难点：含30锐角直角三角形的性质的验证．

教学准备

每位学生准备两块含30锐角直角三角板．

教学设计

创设情境,提出问题将两个含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗?

探索分析,解决问题

由题意可判别△ABC是等边三角形，且AD为边BC上的高，可得BD=CD= AB．

即：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

设问：你能用所学的知识验证以上结论吗?

如学生有困难，可设计以下填空题帮助探寻思路：

1．如图1，△ABC是等边三角形，ADBC于D，则BAD=__，BD=__BC=__AB．

2．如图2，△ABC中，若ACBC，A=30，则B=__，延长BC到D使BD=AB，连结AD，则△ABD是__三角形，BC= ____= ____．

总结以上两小题可得以上结论．

在验证了以上结论后强调：

以上结论是直角三角形很重要的性质，以后经常要用到，一定要记准条件和结论，不要误记为“直角三角形中，30角所对的直角边等于另一直角边的一半”或者“在一个三角形中，30角所对的边等于长边的一半”．

注：提示学生注意语言表述的严谨与科学．

建议部分学有余力的学生课后验证：

其逆命题也成立，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30．

正、逆两方面帮助学生更好地认识直角三角形．

课堂练习，反馈调控

1．如下图，在△ABC中，ACB=90，A=30，CDAB，AB=4．

则BC=____ ( )

BCD=_____ ( )

BD=____． ( )

注：让学生体会到找准直角三角形是正确解题的关键．

2．小明沿倾斜角为30的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，求山的高度．

综合应用，巩固提高

出示补充例题：

例：如图3，ACBC，ABC=30，AB=4cm．

(1)求AC的长．

(2)如图4，若D是AB的中点，DEBC，求DE的长．

(3)如图5，D是AB的中点，连结DC，求DC的长．

注：课本例题涉及的线段、角较多，学生不易找到解题的突破口，因此设计该分层推进的补充题，为解答以下例题做好铺垫．

出示教科书第128页例5．

如图6是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BC、DE要多长?

学生仔细读题，分析其中的数量关系．

教师提示要准确选择直角三角形．

请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范．

解：因为DEAC，BCAC，A=30，

由含30锐角直角三角形的性质可得，

BC= AB,DE= AD．

所以 BC= 7.4=3.7(m)．

又点D是AB的中点，

所以DE= AD= 3.7=1.85(m)．

答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m．

注：让学生认识到仔细审题是关键，找准直角三角形是应用含30。锐角直角三角形的性质的前提．

课堂小结,知识梳理

通过这节课的学习，你又学到关于直角三角形的哪些知识?

注：学生思考、讨论、整理．帮助学生进一步认识直角三角形的性质．

布置作业,自我评价

1．必做题：教科书第128页练习．

2．选做题：教科书第151页习题12.3第12题．

3．备选题：

(1)如图，已知Rt△ABC中，A=30，ACB=90，BD平分ABC，求证：AD=2DC

备选题参考答案：

(1)应用含30锐角直角三角形的性质求得CD= BD,再应用等腰三角形的判定定理求得AD=BD．

(2)如图，已知△ABC中，AB=AC，C=30，ABAD，AD=2cm．求BC的长．

(2)应用含30锐角直角三角形的性质以及等腰三角形的性质定理、判定定理求得BC的长为6cm.