高一数学复习方法

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则ab）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对xA都有xB，则A B（或A B）；

2）真子集：A B且存在x0B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

3）交集：AB={x| xA且xB}

4）并集：AB={x| xA或xB}

5）补集：CUA={x| x A但xU}

注意：①? A，若A?，则? A ；

②若 ， ，则 ；

③若 且 ，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①AB=A A B；②AB=B A B；③A B C uA C uB；

④ACuB = 空集 CuA B；⑤CuAB=I A B。

5．交、并集运算的性质

①AA=A，A? = ?，AB=BA；②AA=A，A? =A，AB=BA；

③Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,mZ},N={x|x= ,nZ},P={x|x= ,pZ}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,mZ}；对于集合N：{x|x= ,nZ}

对于集合P：{x|x= ,pZ}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= N， N，M N，又 = M，M N，

= P，N P 又 N，P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|xA且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|xA且x B}， A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为

A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且AB={1},AB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵AB={1} 1B 12?41+r=0,r=3.

B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵AB={?2,1,3},?2 B, ?2A

∵AB={1} 1A 方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AB={2},AB=B，求实数b,c,m的值.

解：∵AB={2} 1B 22+m?2+6=0,m=-5

B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵AB=B

又 ∵AB={2} A={2} b=-(2+2)=4,c=22=4

b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足：AB={x|x-2}，且AB={x|1

分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由AB={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-,-2)B=ф。

综合以上各式有B={x|-15}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x0}，B={x|x2+ax+b0},已知AB={x|x-4}，A,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵MN=N, N M

①当 时，ax-1=0无解，a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解，再利用参数分离求解。

解答：（1）若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。