一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0)，则称y为x的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，此时抛物线的顶点坐标为P(h，k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A(x1，0)和B(x2，0))，对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-

三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。当x=-时，y最值=，当a0时，函数y有最小值;当a0时，函数y有最大值。当-=0时，P在y轴上(即交点的横坐标为0);当=b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。

4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即ab当对称轴在y轴右边时，a与b异号(即ab0)。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点(0，c)。

6.抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。

五、二次函数与一元二次方程

二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。(参考四-6)

六、常用的计算方法

1、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c(a0)，分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k(a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式;若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。

2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;

3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式;

4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同顶点坐标)。

5、当需要判定函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，与x轴只有一个交点时，=0，与x轴有两个交点时，gt;0。对的判定方法仍然是用配方的方法。