2016-10-25
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余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作ab(mod m),读作a同余于b模m。
二、同余的性质:
①自身性:aa(mod m);
②对称性:若ab(mod m),则ba(mod m);
③传递性:若ab(mod m),bc(mod m),则a c(mod m);
④和差性:若ab(mod m),cd(mod m),则a+cb+d(mod m),a-cb-d(mod m);
⑤相乘性:若a b(mod m),cd(mod m),则ac bd(mod m);
⑥乘方性:若ab(mod m),则anbn(mod m);
⑦同倍性:若a b(mod m),整数c,则ac bc(mod mc);
三、关于乘方的预备知识:
①若A=ab,则MA=Mab=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=McMd
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则Mn(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则MY-X或M11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-11(mod p)。
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