余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：aa(mod m)；

②对称性：若ab(mod m)，则ba(mod m)；

③传递性：若ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m)；

④和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；

⑤相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，则ac bd(mod m)；

⑥乘方性：若ab(mod m)，则anbn(mod m)；

⑦同倍性:若a b(mod m)，整数c，则ac bc(mod mc)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=McMd

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-11(mod p)。