试题一：

100！=123499100，求100！末尾有多少个0？

解答：100！的质因数分解中2的个数显然大于5的个数，1到100之中5的倍数有20个；52 （即25）的倍数有4个； 53=125100。所以100！的质因数分解中5有24个。所以100！的末尾有24个0

试题二：

把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？

解答：①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.

②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而23＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小.

③由于4=2+2，又4=22，因此拆出的加数中可以不出现4.

④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.

因为14=34+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为33332=162最大.

试题三：

在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

　 解答：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

∵2m1987（偶数奇数）

假设不成立。

至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。