数学经典题目解读（四）——牛吃草问题

大家好，经过前面三部分关于牛吃草问题的解读，我们是不是发现解牛吃草系列问题其实本身并没有我们曾想象的那么难呢？所以当我们在解数学题时只要把握了解题的核心，就会很容易正确的解题了。今天我们一起来看一道比较复杂的牛吃草问题。

【经典例题】

一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

【例题解析】

设1匹马1天吃草量为"1"，根据题意，有：

15天马和牛吃草量原有草量天新生长草量……⑴

20天马和羊吃草量原有草量天新生长草量……⑵

30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量+30天新生长草量……⑶

由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为份

将上述结果带入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量。

这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：(天)。

这道题目中因为不止牛在吃草，所以在做题过程中我们需要根据题意做一些等量的代换。现在大家试着做一下下面的练习。

【巩固练习】

现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【知识点总结】

牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此题无解，为什么？因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件。得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定呢？不难想到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。

所以在解题的过程中我们只要想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长出的草的数量。

实习编辑：马雪丽