数学的内容不外乎数与形两大部分，小学数学教学的内容也不例外。新颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》（下称“新大纲”）对几何初步知识的教学作了一些重要的改革，教学要求更加明确。现就我个人的体会，从“历史的回顾”、“三点重要的改革”以及“具体的教学要求”三个方面分别阐述，和广大老师们共同讨论。

我国对几何学的研究有着悠久的历史，翻开二千多年前已经成书的《九章算术》看一看，书中对许多平面图形及其面积的求法已有详细的记载。首先，它把一些平面图形称之为“田”，如方田（指正方形）、直田（指长方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。这里充分说明人们是在一系列测田亩、定四时的农业活动中，逐步形成一些几何形体概念的。同时，书中还记载了三角形的面积是“半广以乘正从”，这里讲的“广”是指矩形，“正从”是指高，意思是把三角形割补成矩形，取其底长的一半再乘高，便是三角形的面积；再看圆的面积，“半周半径相乘得积步”，“积步”是当时的面积单位“平方步”，就是说圆周的一半与半径相乘，用今日的圆面积公式表示，即。至于祖冲之的圆周率，更是早于印度半个世纪，早于欧洲一千多年。我国辉煌的几何学成就，是我国宝贵的文化遗产之一。

然而，几何作为一门学科开设，在我国基础教育，尤其是小学教育中，则是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定学堂章程》（1903年）中，才明确在小学设算术课，其中有一章和几何有关，就是“求积”，内容是田亩的算。

解放以后，随着科学技术的进步，几何初步知识在小学算术中所占的地位也逐步明确。1952年的《小学算术教学大纲（草案）》规定的内容是：直线、线段、直角、正方形和长方形（包括面积）、正方体和长方体（包括体积）。1956年的《小学算术教学大纲（修订草案）》又增加了角、三角形的认识及其面积等内容。1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》又增加了以下内容：垂线和平行线，圆（包括周长与面积），平行四边形和梯形（包括它们的面积），圆柱、圆锥、棱柱、棱锥（包括它们的面积）；同时还学习一些最简单的作图和测量。1963年的大纲是学习几何知识最多的一个大纲。

经过十年动乱后，1978年在调查研究基础上，颁布了《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》，对1963年规定的内容作了调整，删去较难的棱柱、棱锥，增加了扇形。现行教学大纲（指1986年由国家教委正式制订的《全日制小学数学教学大纲》）规定的内容与1978年的相同。

综上所述，我们可以看到小学几何初步知识的内容是随着科技的进步和基础教育的发展而逐步增加、逐步完善的。因为学一些几何知识是适应小学生以后进一步学习以及将来参加生产建设的需要的，这是一个方面。而另一方面，还可以看到，几十年来，我国小学几何初步知识的教学仍始终未能完全突破“以求积为中心”的传统观念，忽视了空间观念的培养，而这个问题，则在新大纲中得到了较好的解决。

（一）明确小学几何初步知识的性质——直观几何（实验几何）。

从几何发展的历史中可以看到，人们对几何图形的认识首先根据生活、生活实践的经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的（这一点在第一个问题中已经涉及）。很明确，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。再看一下，小学生的思维又正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的认识还相当于人类早期认识几何的阶段。因此，在小学阶段学的应该属于直观几何，就是要通过他们自己的拼拼摆摆、折折叠叠、量量画画等实际操作，认识图形的某些特性，积累一定的空间观念。这样，可以为今后升入中学逐步学习论证几何作好准备。这里我想举一个例子说明。小学里学习“三角形的内角和”时，总是用“撕角”拼成一个平角，或是用量角器量出三个角的度数，以此说明其内角和等于180°。这些方法看来是极为简单或者说是比较“低级”的，因为它的准确度是有限的。如果采用逻辑证明，便可使人确信无疑。如下：

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∠1+∠2+∠3=180°

证明：过A点作BC的平行线DE，

∠1=∠4∠2=∠5（内错角相等）

∠4+∠3+∠5=180°

所以∠1+∠2+∠3=180°

但是，像上面这种推理方法，小学生是不能够接受的，只是通过孩子们自己动手撕撕、拼拼、量量、画画，直观地“证明”或“发现”它们的关系，积累比较丰富的感性认识，这样才有可能为将来学习论证几何打下良好的基础。

为此，新大纲一再指出：“通过直观学习一些几何初步知识……”，强调“几何初步知识的教学，要充分利用和创造各种条件，引导学生通过对物体、模型的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本特征和面积、体积的计算方法，并注意在实际中应用，以利于培养初步的空间观念。

（二）突破“以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养。

前面已经提到1963年的大纲是几何初步知识学得最多的，但是即使如此，这一大纲在加强“双基”的指导思想之下，提出了“以四则计算为中心”，与其相应的几何初步知识是“以求积为中心”，因此，对空间观念的培养仍是比较忽视。直到新大纲颁发前，虽然每个教学大纲都谈到“初步的空间观念”，但是什么是空间观念？应该怎样培养？这些问题都是含糊不清的。每次毕业考试中有关几何的题目，也都是停留于求面积和体积。

新大纲首先回答了什么是空间观念？空间观念是在空间知觉基础上形成起来的，它是形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。新大纲又第一次比较恰当而明确地指出了在小学阶段培养初步空间观念的“标高”。这里包括三点要求：一是要求学生听到某一图形的名称，就能在头脑中正确地再现它的形象；二是能够独立地看懂所画出的已学过的平面及立体图形，正确掌握它们的名称；三是能够在各种图形或模型中，正确地找出自己所需要的图形，恰当地把它们分类。最后，新大纲又指出要充分利用各种条件，让学生通过各种观察、实际操作等活动，获取和运用几何初步知识，并在运用过程中培养初步空间观念。这样，既明确了目标，又指出了途径，使初步空间观念的培养落实在实处。

（三）几何形体的认识从低年级起合理安排。

这也是新大纲的一大特点。小学生学习几何知识要由浅入深，空间观念也靠逐步积累。从一年级起，每一年级都编排一些几何初步知识，这是符合小学生的认识规律，又有利于数形结合的，同时，算术与几何交替学习，动手又动脑，也可更好地激发学生学习数学的兴趣。

新大纲对几何初步知识教学的具体要求，仔细分析起来可分为以下三个方面：

（一）空间观念；

（二）求积计算；

（三）实际操作技能（指简单的测量、画图等）。

现将各年级的具体教学要求列表如下：

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要求

空间观念

求积计算

实际操作技能

年级

一年级

直观认识长方形、正方形、三角形和圆。（有知识点，但不提教学要求）

直观认识长方体、正方体、圆柱和球。（有知识点，但不提教学要求）

初步认识直线和线段。

会量线段的长度（限整厘米）。

二年级

初步认识角和直角，知道角的各部分名称。

初步掌握长方形、正方形的特征，知道周长的含义。

直观认识平行四边形。

会计算长方形和正方形的周长。

会用三角板判断直角和画直角。会在方格纸上画长方形和正方形。

三年级

知道面积的含义。

认识面积单位（平方米、平方分米、平方厘米，公顷、平方千米）。

初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面积观念。

掌握长方形和正方形的面积计算公式。

四年级

认识射线和角（直角、锐角、钝角）。

知道角的大小。

初步认识垂线和平行线。

掌握三角形、平行四边形和梯形的特征。

△知道三角形内角和。

△认识组合图形。

掌握长方体、正方体的特征。知道体积的含义。

认识常用的体积单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）。

掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。

掌握长方体和正方体的体积计算公式。

会计算长方体和正方体的表面积。

初步学会用测量工具在地面上测定直线和测量较短的距离。

会用量角器量角和按照指定的度数画角。

会用直尺和三角板画垂线、平行线、长方形和正方形。

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五年级

认识圆。

认识扇形。

认识圆柱和圆锥。

△初步认识球的半径和直径。

掌握圆周长和圆面积的计算公式。会算圆柱的表面积和圆柱、圆锥的体积。

*通过介绍圆周率的史料，使学生受到思想教育。

会画圆。

（注）①△指选学要求，*指思想品德教育。

②六年制的要求总的与五年制相同，只是分为六年安排。

根据上表，分析如下：

（一）空间观念

小学生对几何图形的认识都基本属于表象阶段，因此，一般只描述其某些特征而不下定义。为了便于教师掌握其教学要求，新大纲中把它们由低到高分为“直观认识”、“初步认识”、“认识“和“掌握特征”四个层次。

直观认识——看到有关图形、实物或模型，能初步认识其外形，说出名称。

初步认识——较前者略高一些，能略知图形的

一、两个简单的特征。

认识（知道）——较“初步认识”又略高一些，知道图形一般特征。

掌握特征——知道图形某些本质特征。这是认识的最高层次，但仍不要求对概念下定义。

新大纲中对大多数的平面及立体图形都分几个层次逐步要求，目的是加强空间观念的培养。例如：

1．直线、线段

一年级要求“初步认识”，即知道把一根长线拉紧，就成为直线；直线中的一段就是线段。四年级在认识射线同时，再进一步认识直线和线段，知道直线没有端点，可以无限延长；线段有两个端点；射线只有一个端点，另一端可以无限延长。

2．角

二年级“初步认识”，要求知道角有两条边和一个顶点，知道哪些实物的哪些部分是角。四年级要求“认识”，知道从一点引出两条射线，组成一个角，知道角的大小，知道角可分成直角、锐角、钝角、平角和周角。

3．长方形和正方形

一年级有直观认识长方形和正方形的内容，但不提要求，不作考核。二年级要初步掌握长、正方形的特征，到三年级已学了计算它们的周长和面积时，则要求进一步掌握它们的特征。

4．平行四边形

二年级要求“直观认识”，由于当时还不认识平行线，不可能知道平行四边形的特征，只要求通过实物直观地知道哪些是平行四边形，哪些不是，如解放军的领章是平行四边形；也可以从摆弄七巧板中，挑出平行四边形。这样，到四年级便要求“掌握特征”，知道两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。

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5．三角形

三角形是儿童在日常生活中最常见的图形之一。一年级只能“直观认识”，以后不断发展，四年级要求“掌握特征”，知道三角形的稳定性、三角形的分类、三角形的内角和。

6．长方体和正方体

由于小学生在入学前接触过长、正方体的实物，如积木等，为此，一年级只能“直观认识”，从外形能分辨什么样的物体是长方体，什么样的物体是正方体，四年级再要求“掌握特征”。这样逐步形成“体”的观念。

7．圆和圆柱

圆和圆柱在孩子们日常生活中也容易见到，但长期以来到高年级才认识，低于学生现有的认识水平。现改为一年级先“直观认识”，如认识圆盘面是圆形、罐头筒是圆柱体；到五年级再正式“认识”，知道圆心、半径和直径，知道同一圆内的半径、直径都相等；知道圆柱体上下两底面是相等的圆形，侧面展开是长方形。但这种认识都没有或没有真正地揭示其本质特征。

8．球

球体的认识是新大纲所增加的内容。分为两个阶段：一年级直观认识球，与直观认识圆同时进行，以便从外形上使儿童能开始体会一个是面，一个是体。到五年级则直观认识球的半径和直径，其目的也为以后学习打下一个最起码的基础。这部分作选学内容。

此外，还有一些图形是只在一个年级内集中一次编排，如四年级要求初步认识垂线和平行线，掌握梯形的特征；五年级要求认识圆锥。

（二）求积计算

几何求积是几何初步知识教学的重要内容之一，也有利于数形结合，发挥其相互为用的功能。新大纲对这部分的教学要求是：

1．必须在建立相应的空间观念基础上进行几何量的计算。例如，首先要求知道周长、面积、体积的含义，认识相应的计量单位（长度、面积、体积），有的还要建立相应的观念，如初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面积观念，才能开始求积计算。

2．求积计算分两个层次：一是“会计算”，二是“掌握……计算公式”。显然，后者要求较高，而前者一般可不出现公式，学生根据图形的特征便可直接推知计算方法。

属于第一层次的有：会计算长、正方形的周长，长方体和正方体的表面积、圆柱的表面积和圆柱、圆锥的体积。

属于第二层次的有：掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式；掌握长方体和正方体的体积计算公式；掌握圆周长和圆面积的计算公式。

3．整个求积计算的数据不应过繁。组合图形也一般控制在两个图形的组合。

（三）操作技能（主要指测量与画图）

测量与画图都从低、中、高年级由浅入深地进行训练。

1．测量：

（1）量线段的长度

一年级测量时限整厘米，以后随着学习辅助的长度单位，测量时不受这种限制；

四年级初步学会用测量工具在地面上测定直线和测量较短的距离。

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（2）量角的大小

二年级先用直角板会判断直角；

四年级会用量角器量角。

2．画图：

（1）画角

二年级会用三角板画直角；

四年级会用量角器和直尺按指定角度画角。

（2）画垂线和平行线

四年级会用直尺和三角板画垂线和平行线。

（3）画长方形、正方形和圆

二年级会在方格纸上画长、正方形；

四年级会用直尺和三角板画长、正方形；

五年级会用圆规画圆。

（四）进行思想教育

新大纲明确规定要通过圆周率的史料，介绍我国古代辉煌的数学成就，介绍我国古代的数学家祖冲之，有目的地向小学生进行爱国主义思想教育。有机而恰当地结合数学史实进行思想教育是新大纲的特色之一。

小学几何初步知识的三项具体教学要求是密切联系，相辅相成的。在教学前，我们要明确它们各自的教学目标；而在教学中，又应充分发挥它们相互促进的作用。这样才能收到较好的效果。

改革几何初步知识的教学，是贯彻新大纲精神中的一个重要课题，只要我们能领会新大纲的指导思想，把握各项具体的教学要求，不超前也不滞后，运用各种行之有效的教学方法和手段，不久的将来，几何初步知识的教学改革一定会呈现出新的面貌。