余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a（mod m）；

②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；

③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；

④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d（mod m），a-c≡b-d（mod m）；

⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d（mod m）；

⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；

⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod 9）或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。

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