十字相乘法虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

例1 把m+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-112，-26，-34，-43，-62，-121当-12分成-26时，才符合本题

解：因为 1 -2

1 ╳ 6

所以m+4m-12=(m-2)(m+6)

例2 把5x+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为15,-8可分为-18，-24，-42，-81。当二次项系数分为15，常数项分为-42时，才符合本题

解： 因为 1 2

5 ╳ -4

所以5x+6x-8=(x+2)(5x-4)

例3 解方程x-8x+15=0

分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成115，

35。

解： 因为 1 -3

1 ╳ -5

所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x-5x-25=0

分析：把6x-5x-25看成一个关于x的二次三项式，

则6可以分为16，23，-25可以分成-125，-55，-251。

解： 因为 2 -5

3 ╳ 5

所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0

所以 x1=5/2 x2=-5/3

用十字相乘法解一些比较难的题目：

例5 把14x-67xy+18y分解因式

分析：把14x-67xy+18y看成是一个关于x的二次三项式,

则14可分为114,27, 18y可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y

解: 因为 2 -9y

7 ╳ -2y

所以 14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y)

例6 把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3

=10x-(27y+1)x -(28y-25y+3)

4y -3

7y ╳ -1

=10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)

2 -(7y 1)

5 ╳ 4y - 3

=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

=(2x -7y +1)(5x +4y -3)

说明：在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把

10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为：[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3

2 -7y

5 ╳ 4y

=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3

2 x -7y 1

5 x +4y ╳ -3

=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]

=(2x -7y+1)(5x +4y -3)

说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].

例7：解关于x方程：x- 3ax + 2aab -b=0

分析：2aab-b可以用十字相乘法进行因式分解

解：x- 3ax + 2aab -b=0

x- 3ax +(2aab - b)=0

1 -b

2 ╳ +b

x- 3ax +(2a+b)(a-b)=0

1 -(2a+b)

1 ╳ -(a-b)

[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0

所以 x1=2a+b x2=a-b

两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式.利用配方法，把二次函数的一般式变形为 ：

Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]

应用平方差公式对右端进行因式分解，得

Y=a[x+b/2a+b2-4ac/2a][x+b/2a-b2-4ac/2a]

=a[x-(-b-b2-4ac)/2a][x-(-b+b2-4ac)/2a]

因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-bb2-4ac)/2a

所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根

因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点(x1，0)，(x2，0)的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式.在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：

设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2

根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，

有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2

y=ax2+bx+c

=a[x2+b/a*x+c/a]

=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]

=a(x-x1)(x-x2)

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