和同学们谈谈问题推广_考前复习

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和同学们谈谈问题推广 2016-10-25 收藏

题目：已知：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是ABC、ACB的平分线，试探求A与O之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广1

解：∵BO、CO分别是ABC、ACB的角平分线，

DBC 和同学们谈谈问题推广2 ，

OCB= 和同学们谈谈问题推广3 ACB。

∵OBC+OCB= 和同学们谈谈问题推广4 ，

O+ 和同学们谈谈问题推广5 ，

又∵ABC+ACB= 和同学们谈谈问题推广4 -A，

O+ 和同学们谈谈问题推广6 ，

整理得：O= 和同学们谈谈问题推广7 。

一、变更数量关系推广

推广1：如图2，在△ABC中，ABO= 和同学们谈谈问题推广8 ，ACO= 和同学们谈谈问题推广9 ，试探求A与O之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广10

解：∵ABO= 和同学们谈谈问题推广8 ，

ACO= 和同学们谈谈问题推广9 ，

CBO= 和同学们谈谈问题推广11 ，BCO= 和同学们谈谈问题推广12 ，

又∵OBC+OCB= 和同学们谈谈问题推广4 ，

O+ 和同学们谈谈问题推广13 ，又∵ 和同学们谈谈问题推广14 ，

O+ 和同学们谈谈问题推广15 ，整理得：和同学们谈谈问题推广16 。

推广2：如图2，在△ABC中，ABO= 和同学们谈谈问题推广17 ，ACO= 和同学们谈谈问题推广18 ，试探求A与O之间的数量关系。

仿照上述思路可得：O= 和同学们谈谈问题推广19 。

推广3：如图2，在△ABC中，ABO= 和同学们谈谈问题推广20 ，和同学们谈谈问题推广21 （其中和同学们谈谈问题推广22 ），试探求A与O之间的数量关系。

答：A与O之间的数量关系为：O= 和同学们谈谈问题推广23 。

二、变更图形推广

1. 将内角改为外角

推广4：如图3，在△ABC中，BO是ABC的平分线，CO是三角形的外角ACD的平分线，试探求A与O之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广24

解：∵BO是ABC的平分线，CO是ACD的平分线，

OBD= 和同学们谈谈问题推广25 ，OCD= 和同学们谈谈问题推广26 ，

又∵OCD=OBD+O，ACD=ABC+A，

和同学们谈谈问题推广27 ，

和同学们谈谈问题推广28 ，

整理得：和同学们谈谈问题推广29 。

推广5：如图4，在△ABC中，BO、CO分别是三角形的外角DBC、ECB的平分线，试探求A与O之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广30

略解：

A= 和同学们谈谈问题推广31 ，

O 和同学们谈谈问题推广32

和同学们谈谈问题推广33 ，

联立两式，得：和同学们谈谈问题推广34 。

2. 将线段改为折线

推广6：如图5、6，将线段BC改为折线BDC，BO、CO分别是ABD、ACD的平分线，请探求A、O、D之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广35 和同学们谈谈问题推广36

解：对于图5，连接BC，设DBC+DCB= 和同学们谈谈问题推广37 ，则D+= 和同学们谈谈问题推广4 ，

O+ 和同学们谈谈问题推广38 ，A+ 和同学们谈谈问题推广37 +（ABD+ACD）= 和同学们谈谈问题推广4 。

联立以上三式可得：和同学们谈谈问题推广39 ，

对于图6有：O= 和同学们谈谈问题推广40 ，请自证。

把两种推广方式结合起来，还可对该题做更进一步推广，例如将推广1与推广4结合可以得到推广7。

推广7：如图7，在△ABC中，ACD是它的一个外角，ABO= 和同学们谈谈问题推广41 ABC，ACO=ACD，

试探求A与O之间的数量关系。

请仿照上述解法，自己求解，结论是：O= 和同学们谈谈问题推广41 A。

将推广3与推广4结合可以得到推广8：

推广8：如图7，在△ABC中，ACD是它的一个外角，ABO= 和同学们谈谈问题推广20 ，ACO= 和同学们谈谈问题推广42 ，试探求A与O之间的数量关系。

和同学们谈谈问题推广43

显然，推广8也可以看作将推广7的结论一般化得到，结论是：O= 和同学们谈谈问题推广44 A。

类似的，还可以做更多形式的推广，有兴趣的同学不妨试一试，你还可以和同学们在一起，比一比看谁做的推广更多，更有趣。

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