2016-10-25
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有这样一道竞赛趣题:
小涵把一个密码数乘以5的积是一个9位数,有趣的是这个9位数恰好包含1到9这9个不同的数字,那么这个密码数的各位数字的和是多少?为什么?
分析与解 先看两个例子:
(1)246935795=123467895,这里被乘数当做密码数;
(2)1975286435=987643215,这里被乘数当做密码数。
再计算密码数的各位数字的和:
(1)2+4+6+9+3+5+7+9=45;
(2)1+9+7+5+2+8+6+4+3=45。
由此猜想这个密码数的各位数字的和是45。
从上面所造的两个例子中,我们已发现这种密码数不是唯一的,只要是用1到9这九个数字,任意排列成个位数字是5的九位数除以5所得的商,按照题意,都可当做密码数,可见这样的密码数与5的积的前8位数字应是1,2,3,4,6,7,8,9的任意排列,所以共有(87654321=)40320个。而小涵用的是哪个密码数却无法判断。
为了证明上面的猜想是正确的,一般有两种方法:一是对40320个密码用枚举法逐个验证,但这个方法太繁,时间上也不允许这样做。
另一个方法是设法直接证明。注意到密码数有8位数的也有9位数的,而且这些数中的各位数字也是五花八门的。而密码数乘以5的积倒是很有规律:前8位数恰是1,2,3,4,6,7,8,9的一个排列,末位数是5。不妨设密码数是A,于是5A的各位数字是1到9的一个排列,注意到5A2=A10= ,即密码数后面添一个零。要验证A的各位数字的和是45,那么,只要验证10A的各位数字的和是45就可以了。列表1分析如下:
表1
由上表可知10A(=5A2)的各位数字和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
为了更好地理解表1,可对照上面两例验算:(1)2469357952=123467895=246935790,这里乘积中的奇数:9=8+1,7=6+1,5=4+1,3=2+1,它们都是进位来的1,所以2+4+6+(8+1)+(2+1)+(4+1)+(8+1)+0=45;
同理有(2)19752864352=9876432152=1975286430,所以1+(8+1)+(6+1)+(4+1)+2+8+6+4+(2+1)+0=45。
由此可见,并不需要考虑
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