2016-10-25
收藏
有这样一道竞赛趣题:
小涵把一个密码数乘以5的积是一个9位数,有趣的是这个9位数恰好包含1到9这9个不同的数字,那么这个密码数的各位数字的和是多少?为什么?
分析与解 先看两个例子:
(1)246935795=123467895,这里被乘数当做密码数;
(2)1975286435=987643215,这里被乘数当做密码数。
再计算密码数的各位数字的和:
(1)2+4+6+9+3+5+7+9=45;
(2)1+9+7+5+2+8+6+4+3=45。
由此猜想这个密码数的各位数字的和是45。
从上面所造的两个例子中,我们已发现这种密码数不是唯一的,只要是用1到9这九个数字,任意排列成个位数字是5的九位数除以5所得的商,按照题意,都可当做密码数,可见这样的密码数与5的积的前8位数字应是1,2,3,4,6,7,8,9的任意排列,所以共有(87654321=)40320个。而小涵用的是哪个密码数却无法判断。
为了证明上面的猜想是正确的,一般有两种方法:一是对40320个密码用枚举法逐个验证,但这个方法太繁,时间上也不允许这样做。
另一个方法是设法直接证明。注意到密码数有8位数的也有9位数的,而且这些数中的各位数字也是五花八门的。而密码数乘以5的积倒是很有规律:前8位数恰是1,2,3,4,6,7,8,9的一个排列,末位数是5。不妨设密码数是A,于是5A的各位数字是1到9的一个排列,注意到5A2=A10= ,即密码数后面添一个零。要验证A的各位数字的和是45,那么,只要验证10A的各位数字的和是45就可以了。列表1分析如下:
表1
由上表可知10A(=5A2)的各位数字和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
为了更好地理解表1,可对照上面两例验算:(1)2469357952=123467895=246935790,这里乘积中的奇数:9=8+1,7=6+1,5=4+1,3=2+1,它们都是进位来的1,所以2+4+6+(8+1)+(2+1)+(4+1)+(8+1)+0=45;
同理有(2)19752864352=9876432152=1975286430,所以1+(8+1)+(6+1)+(4+1)+2+8+6+4+(2+1)+0=45。
由此可见,并不需要考虑
新东方报名系统》》》
图形的相似课件
直线和圆的位置关系课件
相似三角形课件
圆和圆的位置关系课件
相似三角形的周长比和面积的比课件
一元二次方程的根与系数的关系课件
配方法和公式法课件
一元二次方程课件1
事件的可能性课件1
两个三角形相似的判定课件2
相似三角形的性质及其应用课件2
相似多边形课件1
比例线段课件3
两个三角形相似的判定课件1
旋转变换课件
反比例函数的性质课件
概率的简单应用课件
相似三角形对应线段的比课件
比例线段课件2
圆周角课件1
事件的可能性课件2
简单事件的概率课件2
平行线分线段成比例课件
比例线段课件1
相似三角形的概念课件
复杂图形的三视图课件
因式分解法课件
两个三角形相似的判定课件
弧长和扇形面积课件
轴对称变换课件
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |