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代数式最值的求法
2016-10-25
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求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。
一. 配方法
例1. 设a、b为实数，那么
的最小值是___________。解：
因为
，
所以当
且
即
且
时，式子的值最小，最小值为－1。二. 计算法
例2. 已知：
，
，
，则
的最小值为（ ）A.
B. 
C.
D. 
解：由
解得
因为
所以只要
最小，就最小，通过计算当
，
；或
时最小，最小值为
所以
的最小值为
故选B
注：也可把a、b、c的值直接代入
通过计算并比较，从而求出其最小值。三. 消元法
例3. 已知：
，则
的最大值是___________，最小值是_________。解：由
得
所以
所以
所以
所以当
时，的最大值为
；当
时，的最小值为－2。四. 构造法
例4. 求
的最大值。解：原式可变形为
其中
可以看成是以
，
为直角边的直角三角形的斜边长，
可以看成是以，
为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
图1
当C点与D点不重合时，即
时，在
中有
即
当C点与D点重合时，即
时
所以当
时即
时y取最大值
。五. 坐标法
例5. 已知：
，求：
的最小值。解：如图2，建立直角坐标系，
的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。
图2
设P（x，y）是直线
上的一动点，由勾股定理知表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当
时，最小。作
，垂足为C。因为
所以
所以
的最小值为
。六. 换元法
例6. 求
的最大值。解：因为
，所以
则可设
所以
所以当
，即
时，有最大值1。七. 利用基本不等式法
例7. 若
，那么代数式
的最小值是_____________。解：当
时因为
所以
即
因为
所以
所以
的最小值为1。编辑推荐：
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