2016-10-25
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求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目,它的解法灵活多样,不可一概而论,下面就初中阶段较常见的解法举例说明,以便同学们复习参考。
一. 配方法
例1. 设a、b为实数,那么的最小值是___________。
解:
因为,
所以当且
即且
时,式子
的值最小,最小值为-1。
二. 计算法
例2. 已知:,
,
,则
的最小值为( )
A. B.
C. D.
解:由
解得
因为
所以只要最小,
就最小,通过计算当
,
;或
时
最小,最小值为
所以的最小值为
故选B
注:也可把a、b、c的值直接代入通过计算并比较,从而求出其最小值。
三. 消元法
例3. 已知:,则
的最大值是___________,最小值是_________。
解:由得
所以
所以
所以
所以当时,
的最大值为
;当
时,
的最小值为-2。
四. 构造法
例4. 求的最大值。
解:原式可变形为
其中可以看成是以
,
为直角边的直角三角形的斜边长,
可以看成是以
,
为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
图1
当C点与D点不重合时,即时,在
中有
即
当C点与D点重合时,即时
所以当时即
时y取最大值
。
五. 坐标法
例5. 已知:,求:
的最小值。
解:如图2,建立直角坐标系,的图象是与x轴,y轴的交点分别为A(4,0)、B(0,8)的一条直线。
图2
设P(x,y)是直线上的一动点,由勾股定理知
表示P(x,y)与O(0,0)间的距离,易知,只有当
时,
最小。
作,垂足为C。
因为
所以
所以的最小值为
。
六. 换元法
例6. 求的最大值。
解:因为,所以
则可设
所以
所以当,即
时,
有最大值1。
七. 利用基本不等式法
例7. 若,那么代数式
的最小值是_____________。
解:当时
因为
所以
即
因为
所以
所以的最小值为1。
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