2016-10-25
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例1. 如图1,将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度,至正方形,求旋转前后两个正方形重叠部分的面积?
图1
解:由正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度,至正方形
设,则
,根据勾股定理,
变题:如图2,将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度,至正方形,求旋转前后两个正方形重叠部分的面积?
图2
分析:将原题中的30变成60后,原来的解题方法已经不能再用了,那就要另外想办法了。
仍然要连结AE,,只要求出
,问题就解决了。所以,本题的关键就是求出
的长。
解:连结AE,作EF∥AD
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度,至正方形
∵EF∥AD
1=4
1=2
EF=AF
设,则
根据勾股定理,
即
例2. 如图3,正方形ABCD的面积为S,对角线相交于点O,点O是正方形的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形
绕点O转动时,
图3
(1)求两个正方形重叠部分的面积。
(2)如果正方形的边长大于正方形ABCD的边长,则重叠部分的面积等于多少?与上述结论是否一致?
(3)将正方形改为
,只要满足什么条件,重叠部分的面积不变?
(4)如果把正方形ABCD改为等边△ABC,O为等边△ABC的中心,以O为顶点的扇形绕点O无论怎样转动,要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变,问扇形
应满足什么条件?并且说明你的理由。
(1)解:∵ABCD为正方形
OA=OB,ACBD
1=2=45
3+BOE=90
∵是正方形
BOE+4=90
3=4
△AOE≌△BOF
两个正方形重叠部分的面积
(2)如果正方形的边长大于正方形ABCD的边长,则重叠部分的面积仍然等于
与上述结论一致。因为求解的过程没有任何改变。
(3)将正方形变为
,只要满足
,并且
与正方形ABCD没有交点,那么求重叠部分的面积的方法与上面的方法一样,所以重叠部分的面积不改变。
(4)如果把正方形ABCD改为等边△ABC,O为等边△ABC的中心,以O为顶点的扇形绕点O无论怎样转动,要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变,扇形
应满足的条件是:
,且
类似上面的方法,容易证明△BOE≌△COF(如图4)。
所以重叠部分的面积,而且保持不变。
图4
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