中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数_考前复习

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中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数 2016-10-25 收藏

一块表面涂着红漆的大积木（正方体），被锯成8块大小一样的小积木，则如图1，这些小积木的三面漆有红漆，另外三面没有漆。中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数1

图1

如果这块大积木被锯成27块大小一样的小积木，那么，这些小积木中，

（1）三面涂漆的有几块？

（2）两面涂漆的有几块？

（3）一面涂漆的有几块？

这时，就不能再用把积木锯开的办法来回答问题了。但只需认真观察一下，你就能发现，把正方体锯开以后，只有位于正方体八个角上的那些小积木，是三面涂漆的。也就是说，三面涂漆的小积木的块数，等于正方体的顶点数，有8块；

两图涂漆的那些小积木，位于正方体的两个面的交界处，但不在正方体的角上（即顶点处）。如图2中，在棱AD上。那块涂有阴影的小积木，就是两面涂漆的。因此，只需首先确定正方体的某条棱上出现的两面涂漆的小积木的块数，而正方体有12条棱。于是，立即可以求得，两面涂漆的小积木的块数为

1块12=12块；

中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数2

图2

一面涂漆的小积木，位于正方体每个面的中心部位。即不在正方体的顶点处，也不在棱上。如图2中，在面中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数3 ，那个以EFGH为一个面的小积木。因此，只需首先确定正方体的某一个面上出现的一面涂漆的小积木的块数，而正方体有6个面。于是可得，一面涂漆的小积木的块数为

1块6=6块。

通过观察，找出解决问题的规律，是学习数学的重要任务之一。这样，就能运用数学知识迅速而又有效地解决实际问题。根据上面归纳出来的分析方法，即使把这个正方体锯成更多的小积木，我们也能轻松地回答类似的问题。例如，我们进一步提出：如果把这个正方体锯成64块大小一样的小积木，那么，三面涂漆、两面涂漆和一面涂漆的小积木各有多少块？

显然，三面涂漆的仍然只有8块；

因为，如图3，在棱AD上，两面涂漆的小积木有两块，所以共有两面涂漆的小积木

212=24块；

中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数4

图3

类似地，从图3中可以看出，面ABCD的中心部位有4个小正方形，它们既不在正方体的棱上，也不在顶点处（图上阴影部分）。因而，在这个面上相应地可以得到4个只有一面涂漆的小积木。所以，一面涂漆的小积木共有

46=24块。

想一想，如果把这个正方体锯成的小积木的块数更多一些（如125块），你能算出涂漆面数不同的小积木的块数各是多少吗？

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