2016-10-25
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计算:(中等难度)
一个自然数,如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数,那么这个自然数是11的倍数,例如1001,因为1+0=0+1,所以它是11的倍数;又如1234,因为4+2-(3+1)=2不是11的倍数,所以1234不是11的倍数.问:用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数,其中有几个是11的倍数?
计算答案:
用1.2.3.4.5组成不含重复数字的六位数,,它能被11整除,并设a1+a3+a5a2+a4+a6,则对某一整数k0,有:
a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k (*)
也就是:
a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2(a2+a4+a6)
15=0+1+2+3+4+5=11k+2(a2+a4+a6) (**)
由此看出k只能是奇数
由(*)式看出,02 ,又因为k为奇数,所以只可能k=1,但是当k=1时,由(**)式看出a2+a4+a6=2.
但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2,可见k1.因此(*)不成立.
对于a2+a4+a6>a1+a3+a5的情形,也可类似地证明(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)不是11的倍数.
根据上述分析知:用0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数.
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