广州市番禺区2015初三数学上册期中试题(含答案解析)
一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 一元二次方程 的根的情况是（※）.
（A）有两个实数根 （B）没有实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）只有一个实数根
2. 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（※）.
3. 如图，关于抛物线 ，下列说法中错误的是（※）.
（A）顶点坐标为（1，-2） （B）对称轴是直线
（C）当 时， 随 的增大而减小 （D）开口方向向上
4. 如图, 是⊙O的圆周角, ,则 的度数为（※）.
（A） （B） （C） （D）
5. 下列事件中是必然事件的是（※）.
（A）抛出一枚硬币，落地后正面向上
（B）明天太阳从西边升起
（C）实心铁球投入水中会沉入水底
（D） 篮球队员在罚球线投篮2次，至少投中一次
6. 如图，将 △ 绕直角顶点 顺时针旋转90°，得到
△ ，若 ，则∠1的度数是（※）.
（A） （B） （C） （D）
7. 一元二次方程 的一个根为2，则 的值为（※）.
（A） （B） （C） （D）
8. 如图， 是 的弦，半径 于点 且 则 的长为（※）.
（A） （B） （C） （D）
9. 若关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（※）.
（A） （B）
（C） 且 ≠1 （D） 且 ≠1
10. 函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（※）.
二、填空题（共6题，每题3分，共18分.）
11.方程 的解为 ※ ．
12.抛物线 的顶点坐标为 ※ ．
13.正六边形的边心距为 ，则该正六边形的边长是 ※ ．
14.如图， 为半圆的直径，且 ,半圆绕点B顺时针旋转45°，点 旋转到 的位置，则图中阴影部分的面积为 ※ ．
15.抛物线 与 轴交于 两点，则 的长为 ※ ．
16.甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是 ※ ．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分6分，各题3分）
（1）用配方法解方程： ; （2）用公式法解方程： .
18.（本小题满分7分）
已知二次函数 的图象过点（4，3）、（3，0）．
（1）求 、 的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在下图中作出此二次函数的图象，根据图像
说明，当 取何值时， ？
19.（本小题满分7分）
在如图所示的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位，Rt△ 的三个顶点均在格点上，且 ，
（1）在图中作出△ 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△ ；
（2）若点 的坐标为（－3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出 的坐标；
（3）在上述坐标系中作出△ 关于原点对称的图形△ ，写出 的坐标．
20．（本小题满分7分）
随着市民环保意识的增强，节庆期间烟花爆竹销售量逐年下降．某市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
21．（本小题满分8分）
甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、丙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
22.（本小题满分8分）
如图，在△ 中， ， 的平分线 交 于点 ，过点 作直线 的垂线交 于点 ，⊙ 是△ 的外接圆．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）过点 作 于点 ，求证： ．
23.（本小题满分9分）
如图，已知抛物线的对称轴为直线 ： 且与 轴交于点 与 轴交于点 .（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求 的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以 为直径作⊙ ,过点 作直线 与⊙ 相切于点 ， 交 轴于点 ，求直线 的解析式．
以下为附加题（共2大题，每题10分，共20分，可记入总分）
24.（本小题满分10分）
已知 ， 是反比例函数 图象上的两点，且 ，
．
（1）在图中用“描点”的方法作出此反比例函数的图象；
（2）求 的值及点 的坐标；
（3）若－4＜ －1，依据图象写出 的取值范围．
25.（本小题满分10分）
一出租车油箱的容积为70升，某司机将该车邮箱加满油后，将客人送达340km外的某地后立即返回.设出租车可行驶的总路程为 （单位：km）,行驶过程中平均耗油量为 （单位：升/km）.
（1）写出 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若该车以每千米耗油0.1升行驶送达客人至目的地，返程时由于堵车，油耗平均增加了 ,该车返回出发地是否需要加油？若需要，试求出至少需加多少油，若不需要，请说明理由。
广州市番禺区2015初三数学上册期中试题(含答案解析)参考答案及评分说明
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数
答案 B C C D C A B D C A
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. ；12. ；13. ；14. ； 15. ； 16. .
三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
三、 解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分6分，各题3分）
（1）用配方法解方程： ; （2）用公式法解方程： .
17.解：（1）移项，得 …………… (1分)
配方，得 即 .…………… (2分)
，得 …………… (3分)
（2）方程化为 …………… (1分)
…………… (2分)
方程有两个不相等的实数根
〖或者直接写在公式中亦给分如：
…………… (2分) 〗
即 …………… (3分)
18.（本小题满分7分）
已知二次函数 的图象过点（4，3）、（3，0）．
（1）求 、 的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在下图中作出此二次函数的图象，根据图像说明，当 取何值时， ？．
18.解：（1）∵二次函数 的图象过点（4，3）、（3，0），
∴ （各1分）…………… (2分)
解得 ， ． …………… (3分)
（2）将抛物线 配方得， ． ……… (4分)
(或∵ ， ， ， )
∴顶点坐标 为 ，对称轴为直线x =2．〖各1分〗…………… (5分)
（3）如图…… (7分)
19.（本小题满分7分）
在如图所示的网格图中．每个小正方形的边长均为1个单位，又在Rt△ 中， ，
（1）试在图中作出△ 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△ ；
（2）若点 的坐标为 （－3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出 的坐标；
（3）在上述坐标系中作出△ 关于原点对称的图形△ ，写出 的坐标．
20. 解：（1）如图所示的△ ；…………… (2分)
（2）如图，作出正确的直角坐标系…………… (3分)
点 （0，1），点 （－3，1）；…………… (5分)
（3）△ 如图所示， （3，－5）， （3，－1）．…………… (7分)
20．（本小题满分7分）
随着市民环保意识的增强，节庆期间烟花爆竹销售量逐年下降．某市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
20解:设年销售量的平均下降率为 ，…………… (1分)
依题意得： ,…………… (4分)
化为： ，
．
得 ， ． …………… (5分)
因为 不符合题意，所以 ． …………… (6分)
答：该市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为 ． …………… (7分)
21．（本小题满分8分）
甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、丙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
21．解：（1）方法一:画树状图如下： …………… (3分)
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种. ……… (4分)
∴P（恰好选中甲、丙两位同学） . …………… (5分)
〖评分说明〗不管结论是否正确,树状图或列表正确给3分, 每一个子项正确可给1分.
（1） 方法二:列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲
甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种. …………… (4分)
∴P（恰好选中甲、丙两位同学） . …………… (5分)
（2）P（恰好选中乙同学）= . …………… (8分)
22.（本小题满分8分）
如图，在△ 中， ， 的平分线 交 于点 ，过点 作直线 的垂线于交 于点 ，⊙ 是△ 的外接圆．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）过点 作 于点 ，求证：
22.解：（1）证明：连结 ．
∵ ∴BF是⊙ 的直径
∵ 平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE．…………… (1分)
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB, …………… (2分)
∴∠CBE＝∠OEB．∴OE∥BC．…………… (3分)
,∴∠OEA＝∠C＝90°,
∴OE⊥AC, ∴AC是⊙O的切线．…………… (4分)
（2） 连结DE．
∵∠OBE＝∠CBE，∴ ＝ ,
∴DE＝EF．…………… (5分)
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB，
∴EC＝EH．…………… (6分)
又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF，
∴Rt△ ≌ Rt△ ．…………… (7分)
∴ ．…………… (8分)
23.（本小题满分9分）
如图，已知抛物线的对称轴为直线 ： 且与 轴交于点 与 轴交于点 .（1）求抛物线的解析和它与 轴另－交于点 ；
（2）试探究在此抛物线的对称轴 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求 的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以 为直径作⊙ ,过点 作直线 与⊙ 相切于点 ， 交 轴于点 ，求直线 的解析式．
23．解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：
∵抛物线经过 、 .
∴ …………… (1分)
解得：a= ， .
∴ ，……… (2分)
即： .
令 ， 得
即 ，
抛物线与 轴另－交于点 .……… (3分)
（2）存在. …………… (4分)
如本题图2，连接 交 于点 ，则点 即是使 的值最小的点. … (5分)
因为 关于 对称，则 , ,即 的最小值为 .
∵ ,
的最小值为 ；…………… (6分)
（3）如图3，连接 ，∵ 是⊙ 的切线,
∴ ,
由题意，得
∵在 中,
，
∴ ，
,……… (7分)
设 ，则 ,
则在 △ 中，又 ，
∴ ,解得 ，
∴ （ ，0）…………… (8分)
设直线 的解析式为 ，∵直线 过 （0，2）、 （ ，0）两点，
，解方程组得： .
∴直线 的解析式为 . …………… (9分)
以下为附加题（共2大题，每题10分，共20分，可记入总分）
24.（本小题满分10分）
已知 ， 是反比例函数 图象上的两点，且 ，
．
（1）在右图中用“描点”的方法作出此反比例函数
的图象；
（2）求 的值及点 的坐标；
（3）当－4＜ －1时，依据图象写出 的取值范围.
24.解（1）反比例函数的图象如图. …………… (3分)
（2） ， ．
…………… (4分)
…………… (5分)
由 得 ，代入 得： .
或
当 时， ;当 时， .
所以点 的坐标（1，-2）或（-3， ）. ………… (7分)
（3）如图，当－4＜ －1时， 的取值范围为 ＜ 2．………… (9分)
25.（本小题满分10分）
一出租车油箱的容积为70升，某司机将该车油箱加满油后，将客人送达340km外的某地后立即返回.设出租车可行驶的总路程为 （单位：km）,行驶过程中平均耗油量为 （单位：升/km）.
（1）写出 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若该车以每千米耗油0.1升行驶送达客人至目的地，返程时由于堵车，油耗平均增加了 ,该车返回出发地是否需要加油？若需要，试求出至少需加多少油，若不需要，请说明理由。
25.解：（1）y与x的函数关系式为： （ ）； ………… (5分)
〖评分说明〗（漏写 扣1分）
（2）需要加油. 理由如下：………… (6分)
该车送达客人至目的地后剩下油量为：
（ ），………… (7分)
设返回过程中出租车行驶的路程为 （单位：km），油箱中的油量为 （单位：L /km）
由题意得： .
由 得: . 即该车剩下油量在返程中只能行驶240 . ………… (8分)
该车返程中至少需要加能行驶340-240=100 的油量：
L.
答：该车返回出发地至少还需要加油15L．………… (10分)