2015初三年级上学期数学期中综合测试卷(含答案解析)
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2的顶点坐标是（）
A． （0，2） B． （0，﹣2） C． （﹣2，0） D． （2，0）
2．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值 范围是（）
A． k＜0 B． k＞0 C． k＜1 D． k＞1
3．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）
A． 1： B． ：4 C． 1：2 D． 1：4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC= ，BC=2．则sin∠ACD的值为（）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
6．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中的相似三角形有（）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
7．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）
A． 点P B． 点O C． 点M D． 点N
8．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）
A． a?sinα B． a?cosα C． a?tanα D．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，那么 =（）
A． sin∠BAC B． cos∠BAC C． tan∠BAC D． cot∠BAC
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（）
A． ①② B． ①③④ C． ①②③⑤ D． ①②③④⑤
二、填空题
11．计算：sin60°?cos30°﹣tan45°=．
12．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽，对应边的比例式是．
13．如图，若点A在反比例函数y= （k≠0）的图象上，AM ⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k=．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c=0和9a﹣3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线．
15．如图，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，则△ABC的面积为．
三、解答题
16．如图，△ ABC是一仓库的屋顶的横截面，若∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求线段AB的长．
17．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）
18．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
20．如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分线，AC=6，AB=10．
（1）求 ；（2）求AD的长．
21．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
2015初三年级上学期数学期中综合测试卷(含答案解析)参考答案
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2的顶点坐标是（）
A． （0，2） B． （0，﹣2） C． （﹣2，0） D． （2，0）
考点： 二次函数的性质．
分析： 已知抛物线的解析式满足顶点坐标式y=a（x﹣h ）2+k的形式，直接写出顶点坐标即可．
解答： 解：∵抛物线y=x2﹣2，
∴抛物线y=x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），
故选B．
点评： 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题基础题，比较简单．
2．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）
A． k＜0 B． k＞0 C． k＜1 D． k＞1
考点： 反比例函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
解答： 解：根据题意，在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）
A． 1： B． ：4 C． 1：2 D． 1：4
考点： 相似三角形的 性质．
分析： 由两个相似三角形的面积比是1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．
解答： 解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的周长比是1：2．
故选：C．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC= ，BC=2．则sin∠ACD的值为（）
A． B． C． D．
考点： 解直角三角形．
分析： 先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC= ，BC=2，
∴AB= = =3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B= = ．
故选C．
点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B是解题的关键．
5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解答： 解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ．
故选D．
点评： 本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中的相似三角形有（）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
考点： 相似三角形的判定．
分析： 题目中给的角相等，从而根据两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，从而找出图中的相似三角形．
解答： 解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADE∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故选：D．
点评： 本题考查相似三角形的判定定理，关键是知道两个角相等的三角形互为相似三角形．
7．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）
A． 点P B． 点O C． 点M D． 点N
考点： 位似变换．
分析： 根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解答： 解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．
点评： 位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考查位似图形的概念．
8．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）
A． a?sinα B． a?cosα C． a?tanα D．
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 根据已知角的正切值表示即可．
解答： 解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC中tanα= ，
∴AB=a?tanα．
故选：C．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，那么 =（）
A． sin∠BAC B． cos∠BAC C． tan∠B AC D． cot∠BAC
考点： 锐角三角函数的定义；角平分线的性质．
分析： 过点D作DE⊥AB于E，由角的平分线的性质得CD=DE，证明AB﹣AC=BE，则 =tan∠BDE，再证明∠BAC=∠BDE即可．
解答： 解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴CD=DE．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴AE=AC．
∴ = =tan∠BDE．
∵∠BAC=∠BDE，（同角的余角相等）
∴ =tan∠BDE=tan∠BAC，
故选C．
点评： 此题主要考查锐角三角函数的定义，利用了角平分线的性质．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（）
A． ①② B． ①③④ C． ①②③⑤ D． ①②③④⑤
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x=1、x=﹣1和x=﹣2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：①当x=1时，y=a+b+c＜0，故①正确；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x= =﹣1，得2a=b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0，故③正确；
④∵对称轴为x= =﹣1，
∴点（0，1）的对称点为（﹣2，1），
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=1，故④错误；
⑤∵x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣ =﹣1，即b=2a，
∴c﹣a＞1，故⑤正确．
故选：①②③⑤．
点评： 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式
二、填空题
11．计算：sin60°?cos30°﹣tan45°= ．
考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 先把sin60°= ，tan45°=1，cos30°= 代入原式，再根据实数的运算法则进行计算．
解答： 解：sin60°?cos30°﹣tan45°，
= ? ﹣1，
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽△DAC，对应边的比例式是 = = ．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据两角对应相等的两个三角形相似可解，再根据相似三角形的性质写出对应边的比例式．
解答： 解：在△ABC和△DAC中，
∵∠C=∠C，∠B=∠DAC；
∴△ABC∽△DAC；
∴ = =
点评： 考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
13．如图，若点A在反比例函数y= （k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k=﹣6．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．
解答： 解：因为△AOM的面积是3，
所以|k|=2×3=6．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=﹣6．
故答案为：﹣6．
点评： 主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c=0和9a﹣3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1．
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题 ．
分析： 解方程求出a，b的值，再根据对称轴公式即可求出该二次函数图象的对称轴．
解答： 解：方程9a﹣3b+c=0减去方程a+b+c=0，
可得8a﹣4b=0，
根据对称轴公式整理得：对称轴为x= =﹣1．
故该二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1．
点评： 解决此题的关键是根据对称轴公式的特点巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．
15．如图，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，则△ABC的面积为25．
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，所以可先利用△EFC∽△ADE，得出对应线段的比，进而得出面积比，最后求出面积的值．
解答： 解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠C=∠AED，∠FEC=∠A，
∴△EFC∽△ADE，
而S△ADE=4，S△EFC=9，
∴（ ）2= ，
∴EC：AE=3：2，
∴EC：AC=3：5，
∴S△EFC：S△ABC=（ ）2=（ ）2= ，
∴S△ABC=9× =25．
故答案为25．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质，理解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．
三、解答题
16．如图，△ABC是一仓库的屋顶的横截面，若∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求线段AB的长．
考点： 解 直角三角形的应用．
分析： 过点A作AD⊥BC，根据题意可以求得AD的值，再根据含30°角直角三角形中斜边长为30°角所对直角边一半，根据勾股定理即可解题．
解答： 解：过点A作AD⊥BC，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵AD2+CD2=AC2．
∴AD= ，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∵∠BAD=30°，
∴AB=2AD，
解得AB=2 ．
点评： 本题考查了勾股定理的运用，考查了含30°角直角三角形中斜边长为30°角所对直角边一半的性质，考查了等腰直角三角形腰长相等的性质．
17．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 应用题．
分析： 首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得AD与DF的大小．再利用13+EF=13×1.4，进而可求出答案．
解答： 解：易知四边形ABCD为矩形．
∴CD=AB=1.5米．
在等腰直角三角形ADE中，AD=DE÷tan45°=14.5﹣1.5=13米．
在直角三角形ADF中，DF=AD?×tan55°．
∴13+EF=13×1.4．
∴EF=5.2≈5（米）．
点评： 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18．如图，已知A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）先把A（﹣4，2）代入y= 求出m=﹣8，从而确定反比例函数的解析式为y=﹣ ；再把B（n，﹣4）代入y=﹣ 求出n=2，确定B点坐标为（2，﹣4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值．
解答： 解：（1）把A（﹣4，2）代入y= 得m=﹣4×2=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
把B（n，﹣4）代入y=﹣ 得﹣4n=﹣8，解得n=2，
∴B点坐标为（2，﹣4），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）分别代入y=kx+b得 ，解方程组得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）﹣4＜x＜0或x＞2．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定系数法以及观察函数图象的能力．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
考点： 相似三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 动点型．
分析： 本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．
解答： 解：①若△POQ∽△AOB时， = ，即 = ，
整理得：12﹣2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA时， = ，即 = ，
整理得：6﹣t=2t，
解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质．要注意解题时要根据不同的相似三角形进行分类讨论，以防漏解．
20．如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分线，AC=6，AB=10．
（1）求 ；（2）求AD的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
分析： （1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于E，易得△ACE是等边三角形与△CDE∽△BDA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 ；
（2）利用平行线分线段成比例定理，即可求得AD的长．
解答： 解：（1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于E，
∵AD平分∠CAB，∠CAB=120°，
∴∠CAD=∠BAD=60°．
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=6．
又∵CE∥AB，
∴△CDE∽△BDA，
∴ = = = ；
（2）由（1）知，△ACE是等边三角形，
∴AE=6．
∵CE∥AB，
∴ ，
即 ，
∴AD= AE= ×6= ．
点评： 此题考查了等边三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．解此题的关键是辅助线的作法，因此需要同学们多积累经验．
21．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x 的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）因为y=（x﹣50）w，w=﹣2x+240
故y与x的关系式为y=﹣2x2+34 0x﹣12000．
（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．
（3）令y=2250时，求出x的解即可．
解答： 解：（1）y=（x﹣50）?w=（x﹣50）?（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣12000，
∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣12000．
（2）y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450
∴当x=85时，y的值最大．
（3）当y=2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250
解这个方程，得x1=75，x2=95
根据题意，x2=95不合题意应舍去
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
点评： 本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．