怀柔区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的倒数是
A. B. C. D.
2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，，将11000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，
则∠A的度数为
A．40° B． 50°
C． 80° D．100°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的是
A． B． C． D．
5．将抛物线y＝ (x －1)2 +3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后
所得抛物线的表达式为
A．y＝ (x －2)2 B．y＝x2 C．y＝x2 +6 D．y＝ (x －2)2 +6
6. 在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根
旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为
A．15m B． m C． 60 m D． m
7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ ，AC＝3，
则CD的长为
A．1 B． C．2 D．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，
按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到
直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式： ．
10．已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，
则这两个圆的位置关系是 ．
11．若函数 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随
自变量x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系 中，正方形ABCD的位置如右图所示，
点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB
交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于
点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进 行下去，
第1个正方形的面积为 ；
第n个正方形的面积为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．已知抛物线y=x2-4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标.
15．解不等式组:
16. 已知 ，求代数式 的值．
17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的
长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°.
求接线柱AB的长.
18. 已知：抛物线 与x轴有两个交点.
（1）求m的取值范围；
（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程 有整数根，
求m的值.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠C＝90°，
∠ADB＝105°， ，AD＝4．
求DC的长．
20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画
出△A’BC ’,并求BA边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积；
（2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC，
且相似比不为1．
22．如图，在⊙O 中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的
切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，
连结AF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF= ，求AF的长．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
（-1，a ）， （3，a），且最小值为-4.
（1）求抛物线表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为D，
点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B
之间的部分为图像G（包含A，B两点）.
若直线DP与图像G有两个公共点，
结合函数图像，求点P纵坐标t的取值范围.
24.对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上， 点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3.
①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；
②在①所画图 形的基础上求AE的长.
25．在△ABC中，∠A=30°，AB=2 ，将△ABC绕点B顺时针旋转 （0°90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，
连接BF.
（1）如图1，若 =60°，线段BA绕点B旋转 得到线段BD.
请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，若 =90°，求∠AFB的度数和BF的长；
（3）如图3，若旋转 （0°90°），请直接写出∠AFB的
度数及BF的长（用含 的代数式表示）.
怀柔区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案及评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D A B B D A C B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题 号 9 10 11 12
答 案
外切 m＞2 5
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：原式= …………………………………………4分
=
= .…………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解：y=x2-4x+5
= x2-4x+4+11分
=(x-2)2 +1.……………………………………………………………3分
∴抛物线的对称轴为x=2. ……………………………………………4分
顶点坐标为（2，1）.…………………………… ……………………5分
15. （本小题满分5分）
解：由（1）得：x≤3. ……………………………………………………2分
由（2）得：x-1.……………………………………………………4分
∴不等式组的解集为 -1x≤3.………………………………………5分
16．（本小题满分5分）
解：原式= ………………………………… 2分
=
= .……………………………………………………3分
∵
. ………………………………………… ……………4分
∴原式= =-1. ………………………………………………5分
17. （本小题满分5分）
解：过B作BE∥CD交AB于E点，
∵太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，………………………………………2分
∵太阳光线AC∥BD,
又BE∥CD,
∴四边形ACDB是平行四边形…………………………………4分
∴CD=BE=1，
在△AEB中，∵∠ABE=90°，BE=1，∠AEB=60°，
∴AB=1×tan60°= ,…………………………………5分
所以接线柱AB的长为 米.
18. （本小题满分5分）
解：（1）令y=0，则
依题意，得 ，
解得 ，
∴ m的取值范围是 . ………………………………………2分
（2）∵m为非正整数，∴ m=-1或m=0.
当m=-1时， ，解得x=0或x=2. …………………3分
当m=0时， ，
解得 ，不符合题意. ……………………4分
∴m的值是-1. ………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（本小题满分5分）
解:过点D作DE⊥AB于E. …………………………………1分
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=60°，
∵AD=4 ∴DE=2，…………………………………2分
∵∠ADB＝105°，∠ADE=60°，∴∠EDB=45°，
∵DE=2，∴在Rt△ADE中，BD= ………………………3分
在Rt△BCD中，∵ ∴∠BDC=60°，
∵BD= ∴DC= ，…………………………5分
20．（本小题满分 5分）
解：（1）取出黄球的概率是 ；………………………………………2分
（2）画树状图得：
……………3分
如图所有可能出现的结果有9个，……… ………………………………4分
每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个.
所以，P（两次取出白色球）= ．…………………………………5分
21 . （本小题满分5分）
解：（1）如图：△A’BC’即为所求；…………2分
BA旋转到BA’’所扫过图形的面积：
S= .……………3分
（2）如图：△A”B”C”即为所求．……………5分
22. （本小题满分5分）
（1）证明：
∵ BC为⊙O 的切线，AB为直径,
∴ ∠ABC = 90°.
∵ AB平分弦DE,
∴ ∠A GE= 90°.
∴ DE∥BC. …………………………………2分
（2）连接DB，AD.∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°.∵ DE∥ BC,
∴ △DGO∽△CBO∴ ,
∵ OD = 1,CF= ；
∴OC= ,∴ ∴OG= ,………………3分
∴AG= . ∵∠ADB=∠AGD= 90°，
∴ △ADG∽△ADB，∴AD2=AG.AB, ∵AG= ，AB=2.
∴AD= ，又∵ DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,
∵DF=2，∴AF= .……………………………5分
（其它方法对应给分）
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分，）
23．（本小题满分7分）
解：（1）∵抛物线经过A(-1,a)，B（3，a）,
∴抛物线的对称轴x=1，又∵最小值为-4,
∴顶点坐标C（1，-4）.
∴抛物线表达式为y=2（x-1）2-4
即抛物线表达式y=2x2-4x-2. ……………………………2分
把 （-1，a）代入y=2x2-4x-2，解得a=4.
∴a的值为4. ……………………………3分
（2）∵D点与C点关于y轴对称,∴D点坐标为（-1，-4）
由（1）知：B（3，4）
设直线DB的表达式为y=kx+b
把D(-1,-4)，B（3，4）代入：y=kx+b
∴ . 解得 .
∴直线BD的表达式为：y= x .……………………5分
设P（1，t），把P（1，t）代入y= x
解得t=0.又∵抛物线的顶点坐标C（1，-4）.
∴t=-4.∴-4t≤ ……………………………7分
24. （本小题满分7分）
解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△B CE，
∴点E是四边形ABCD边AB上的相似点．………………………3分
（2）①如图：强相似点有两个，点E’,E’’即是四边形ABCD边AB上
的两个强相似点. ……………………………5分
②设AE’=x,则BE’=8-x,∵△AD E’∽△BC E’，
∴ ，解得
∴AE的长为4 ……………………………7分
25．（ 本小题满分8分）
（1）补全图形如图所示，∠AFB=60°；……………2分
（2）解：连接AD，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2
∴∠AFD=∠ABD=90°
∴A、B、F、D在以AB为直径的圆上，
∴∠AFB=∠ADB=45°………………………4分
在△ABF中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB= ，
可解得BF= .…………………………6分
（注：此题其它解法对应给分）
（3）∠AFB=90°- …………………………7分
BF= …………………………8分
参考解法：
∵∠A=∠D=30°， ∠1=∠2. ∴∠AFD=∠ABD= ，
过B作BM⊥AC于M， 过B作BN⊥DE于N，
由 = 和AC=D E， 可得BM=BN，∴FB平分∠AFE，
∴∠AFB=∠EFB= =90°- ，
在Rt△ABM中可得：BM= ，
在Rt△BMF中，由sin∠AFB= ，
得：BF= .