房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1. 抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于
A．30° B．40° C．60° D．80°
3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于
A． B． C． D．
4. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为
A. B. C. D.
5. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为
A．1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1
6. 如图，弦AB ? OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于
A． B． C． D．
7. 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为
A． 10m B． 12m C． 15m D．40m
8. 如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B. 设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中，
能表示 与 的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC，
若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于 ．
10．如图，⊙ 的半径为2， ， 切⊙ 于 ，弦 ，
连结 ， 则图中阴影部分的面积为 ．
11. 如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，
⊙O的半径为10，则AB= ．
12. 抛物线 （其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则 ; ；
(用含n的代数式 表示)
二、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.计算：
解：
14.如图， 为线段 上一点， ， ， ．求证： ．
解:
15.已知二次函数 的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解:
16. 如图，在 中， ， ， 为 上一点， ， ，求 的长.
解:
17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD的高度. 她先在A处测得楼顶C的仰角 30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角 60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米）参考数据： ， ，
解:
18. 如图，直线y=3x与双曲线 的两个交点分别为A (1 , m)和B．
（1）直接写出点B坐标，并求出双曲线 的表达式；
（2）若点P为双曲线 上的点（点P不与A、B重合），且满足PO=OB，直接写出点P坐标．
解:
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19. 抛物线 与x轴分别交于点A (－1,0)和点B，与y轴的交点C坐标为(0,－3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC的值最小，求点D的坐标.
解:
20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．
解:
21.如图，AB是⊙O的 直径， 点C在⊙O上，CE? AB于E, CD平分?ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AE=9, CE=12, 求BF的长.
解:
22. 阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）= 12 .
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
(1) 计算：2※3= ；
(2) 若5※m=56 ，则m= .
(3) 函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）
五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）
23. 直线y=﹣3x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点B，抛 物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，与x轴的另一交点为C．
（1）求a，k的值；
（2）若点M、N分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点 P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
解:
25. 已知抛物线 ．
（1） 求证：无论 为任何实数，抛物线与 轴总有两个交点；
（2） 若A 、B 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和 的值；
（3） 若反比例函数 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ，且满足23，求k的取值范围.
解:
房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案和评分参考
一、选择题（每题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D C A C D
二、填空题（每题4分）
9. 325 10. 23π 11. 10 12. (前两空每1分，最后一空2分)
三、解答题
13. 解：原式=1-2×32 -8+23 …………………………4分
=3 -7 ………………………………………5分
14. 证明 ：
∵ ，
∴ ．
∵ 为线段 上一点，且 ，
∴ ．
∴ ． …………………………………………………………………2分
∵ = ， …………………………………………………………………3分
∴△ ∽△ ． ………………………………………………………………4分
∴ ．………………………………………………………………………5分
15. 由题意可知： ……………………2分
即 …………………………3分
解得 ……………………………………4分
∴ k的取值范围是：k≤4且k≠3……………5分
16. 解：在 中， ， ，
∴
∴ …………………………………1分
在 中， ，∴ ，……2分
∴ ……………………………………3分
∴ ……… …………4分
∴ ……………………………5分
17. ∵ 30°， 60°，∴∠ECF＝ ＝30°. ∴ .
在Rt△CFG中， ……………………………………………3分
∴ . ………………………………………………5分
答：这座教学楼的高度约为10.3米.
18.（1）点B坐标为（-1，-3）……………………………………1分
∵直线y=3x过点A(1，m)
∴m=3×1=3
∴A(1,3) ……………………………………………………2分
将A(1,3)代入y=kx 中，得 k=xy=1×3=3
∴y=3x …………………………………………… ……………3分
(2) P1(-3,-1), P2(3,1)………………………………………………5分
四、解答题
19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线 中
得： ， 解得： …………1分
∴抛物线的解析式为 …………………2分
(2)由 =
知抛物线的对称轴为直线x=1，点B(3,0)……………3分
连接BC，交对称轴x=1于点D
可求得直线BC:y=x-3
当x=1时，y=-2
∴点D(1,-2)……………………………………………5分
20. 如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，……1分
∵CD=10cm，AB=60cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，…………………………2分
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，…………………3分
解得：r=50，…………………………………………5分
∴这个车轮的外圆半径长为50．
21. （1）证明：∵ ,
∴ .
∵ CD平分 , BC=BD,
∴ , .
∴ . …………………………1分
∴ ∥ .
∴ .
∵ AB是⊙O的直径,
∴ BD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分
（2）连接AC，
∵ AB是⊙O直径，
∴ .
∵ ,
可得 .
∴ ………………………………………………………3分
在Rt△CEB中，∠CEB=90?, 由勾股定理得 ……………4分
∴ .
∵ , ∠EFC =∠BFD,
∴ △EFC∽△B FD. ………………………………………………………5分
∴ .
∴ .
∴ BF=10. ………………………………………………………………………6分
22. 解：（1） …………………1分
(2) ±6 ……………………3分
（3）D………………………5分
五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）
23. (1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
∴ ， . ……………………………………2分
又抛物线 经过点 ，
∴ 解得
即 ， 的值分别为 ， . ……………………………4分
（2） …………………………………7分
24. （1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴ = =2π；
（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；
（3）证明：如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（1）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又 ∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠E AP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴ OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
25．（1）证明：令 .
得 .
不论m为任何实数，都有(m－1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分
∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点. ……………… 2分
（2）解：抛物线 的对称轴为
∵抛物线上两个不同点A 、B 的纵坐标相同，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则 ．
∴ . ……………………………………………………… 3分
∴抛物线的解析式为 ． ………………… 4分
∵A 在抛物线 上，
∴ .
化简，得 .
∴ ． ……………………………………………… 5分
（3） 当23时，
对于 ，y随着x的增大而增大，
对于 ，y随着x的增大而减小.
所以当 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得 ＞ ，
解得k＞5. …………………………………6分
当 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得 ＞ ，
解得k＜18. ……………………………………7分
所以k的取值范围为5＜k＜18. ……………………………8分