延庆县2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把 它们分别标号为1，2，3，4，5，
从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为
A. B. C. D.
3. 抛物线 的顶点坐标是
A．（2，3） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（-2，-3）
4. 如图， □ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，
则EF：FC等于
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，OC= 5，CD=8，
则OE的长为
A．1 B．2 C．3 D． 4
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝ ，BC＝2，则sinB的值为
A． B． C． D．2
7．二次函数 的图象如图所示，
则下列结论中错误的是
A．函数有最小值
B ．当－1 2时，
C．
D．当 ，y随x的增大而减小
8．如图，矩 形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，
AB=3，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到
点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表
示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的
A．点C B．点F C．点D D．点O
二、填空题 （本题共16分，每小题4分）
9．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2．
10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________．
11. 已知关于 的一元二次方程 无实数根，那么m的取值范围是____．
12. 如图，AD是⊙O的直径．
(1)如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2的度数是；
(2)如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则∠B3的度数是 ；
(3)如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，则∠Bn的度数是 （用含n的代数式表示∠Bn的度数）．
三、解答题（本题共35分，每小题5 分）
13. 计算：
14. 解方程：
15. 已知：二次函数的图象过点A（2，-3），且顶点坐标为C（1，-4）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当 时，y的取值范围.
16. 如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长．
17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海
里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离
CD的长（结果保留根号）．
18. 已知：AD是△ABC的高， ，AB=4， ，求BC的长.
19. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间
满足关系：y = ax2 + bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？
最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
四、解答题（本题共15分，每小题5分）
20. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上☆○☆，
B组的卡片上分别画上☆○○，如图1 所示.
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，
求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解）
（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标 记
如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看
到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？
21. 如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，
交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，
交AC的延长线于点F.
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）CF=5，cos∠A = 25，求BE的长.[来~源#:*中教网%]
22. 探究发现:
如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段 BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分）
23. 已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数.
（1）求 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象
向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线 过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围.
24. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D，
连接AD，BD，CD，
（1）如图1， ，直接写出∠ADB的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图2，如果 BAC=60°，求证：BD+CD=AD；
（3）如图3，如果 BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；
（4）如果 ，直接写出BD+CD与AD之间的数量关系.
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1: （ ）与抛物线C2: ，
（1）抛物线C1与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B．求点A，B的坐标；
（2）若抛物线C1在 这一段位于C2下方，并且抛物线C1在 这一段位于C2上方，求抛物线C1的解析式.
延庆县2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案
一、选择题（共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B C A B D
二、填空题（共16分，每题4分）
题号 9 10 11 12
答案
三、解答题（本题共35分，每小题5分）
13. 计算：
=
=5
14．解方程：
解1:
∴
解2:
解3:
∵a=1,b=-4,c=-5
15.(1) 设二次函数的表达式为
∵此函数图象顶点C（1，﹣4）
∴
过点A（2，-3），
∴a=1
∴二次函数的解析式:
二次函数的解析式:
当x= -1时，y=0
当x=1时，y有最小值，为y=-4
∵x=1在 内
∴当 时，y的取值范围-4 ≤ y ＜0
16. 解：∵∠B=∠C，∠A=∠D
∴△ABE∽△CDE
∴
∵AB=8，AE=6，ED=4，
∴
∴
17. 解：
∵DA⊥AD，∠DAC=60°，
∴∠1=30°.
∵EB⊥AD，∠EBC=30°，
∴∠2=60°.
∴∠ACB=30°.
∴BC = AB=30.
在Rt△ ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°，
18. 分两种情况：
（1）如图1
在Rt△ABD中，∠CDB=90°， ，AB=4，
由勾股定理可得： .
在Rt△ACD中，∠ADC=90°， ，
∵ ， ，
∴ .
∴CD=1.
∴BC=4.
（2）如图2
同理可求：BD=3，CD=1
∴BC=2.
综上所述：BC的长为4或2.
19. 解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴ ，
解得 ，
y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）
当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元；
（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天 销售利润不低于
16元．
20.
（1）方法1：由题意：
从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .
方法1：由题意可列表如下：
☆ ○ ☆
☆ （☆，☆） （☆，○） （☆，☆）
○ （○，☆） （○，○） （○，☆）
○ （○，☆） （○，○） （○，☆）
从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .
（2）
21.证明：（1）连接CD
∵AO=CO，CD=BD
∴OD //AB
∴∠ODE=∠DEB
∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥BC
∴直线EF是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为x，则OC=OA=OD，
∵OD //AB
∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD
∴∠B =∠OCD
∴AC=BC=2x
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，
∴
∴
∴
在Rt△AEF中，∠FEA=90°，
∴
∴
∴
∴BE=2
22. 数学思考:
证明：如图一，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，
∴BG=BE，
∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，
∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分线，
∴∠ECF=120°=∠AGE．
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，
∴∠GAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中
，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
拓展应用：如图二：
∵△ABC是等边三角形，BC=CE
∴CE=BC=AC，
∴∠CAH=30°，
作CH⊥AE于H点，
∴∠AHC=90°．
∴CH= AC，AH= AC，
∵AC=CE，CH⊥AE
∴AE=2AH= AC．
∴ ．
由数学思考得AE=EF，
又∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴△ABC ∽△AEF．
∴ = = ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第 25题6分）
23.
（1）∵关于 的一元二次方程 有实数根
∴
∴
∴ …………………………………………………1分
∵ 为正整数
∴ 的值是1,2,3 ……………………………………2分
（2）方程有两个非零的整数根
当 时， ，不合题意，舍
当 时， ，不合题意，舍
当 时， ，
∴ ……………………………3分
∴
∴平移后的图象的表达式 ………………4分
（3）令y =0 ，
∴
∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）
∴A（-4,0），B（2,0）
∵直线l： 经过点B，
∴函数新图象如图所示，当点C在抛物
线对称轴左侧时，新函数的最小值有
可能大于 ．
令 ，即 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴抛物线经过点 ． ……………5分
当直线 经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得
…………6分
由图象可知，当 时新函数的最小值大于 ． ………………………7分
（也可以用三角形相似求出-5以及k的值）
24.
………………1分
（2）延长BD到E，使得DE=DC
∵ BAC=60°，AB=AC
∴△ABC是等边三角形 ………………2分
∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°
∵四边形ABCD内接于圆
∴∠BAC+∠BDC=180°
∵∠BDC+∠EDC=180°
∴∠BAC=∠EDC=60°
∵DC=DE
∴△DCE是等边三角形 ………………3分
∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE ∴BE=AD
∵BE=BD+DE
∴AD=BD+CD ………………4分
（3）延长DB到E，使得BE=DC，连接AE，
过点A作AF⊥BD于点F，
∵AB=AC ∴∠1=∠2 ………………5分
∵四边形ABCD内接于圆
∴∠DBA+∠ACD=180°
∵∠EBA+∠DBA =180°
∴∠EBA=∠DCA
∵BE=CD，AB=AC
∴△EBA≌△DCA ∴∠E=∠1
∴AE=AD………………6分
在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴ ………………………………7分
∵∠1=90°- =30°, ∴
∴
∵ BE=BD+CD
∴ …………………………………………8分
(4) ……………………………………………9分
25.
（1）根据:
可得点A(0,4)，B(1,0) ……………………………2分
(2)根据对称, 抛物线C1在 这一段位于C2下方,相当于抛物线C1在 这
一段位于C2下方 … …………………………3分
∵抛物线C1在 这一段位于C2上方，
∴两条抛物线的交点横坐标:x=3……………………………4分
∴把x=3代入
∴y=3
∴抛物线C1： 经过点（3,3）……………………………5分
∴
∴抛物线C1的解析式: ……………………………6分