昌平区2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．已知∠A为锐角，且sinA＝12，那么∠A等于
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五边形
3．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，那么∠BOC的度数是
A．150° B．120° C．90° D．60°
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．
若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝ ，
AC＝3，则 CD的长为
A．1 B． C．2 D．
6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A ， △PAO的面积为3，则k的值为
A．3 B．- 3 C． 6 D．-6
7．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为
A． B．3 C．4 D．5
8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形 的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，
MP 2 ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 抛物线 的顶点坐标是 ．
10．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11． 如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于
点C，若 ，PB=6，则PC等于 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，记Rt△OAB为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为 ；三角形⑩的直角顶点的坐标为 ；第2015个三角形的直角顶点的坐标为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13． 计算 : ．
14． 解方程: ．
15．已知△ 如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ 绕点C顺时针旋转90°，得到△ ．
（1）在网格中画出△ ；
（2）直接写出点B运动到点 所经过的路径的长．
16． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A(-1，4)，B(2，m)两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式 ＜ 的解集．
17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B =∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的长．
18．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC= ， AC=3.
（1）求∠B的度数；
（2）求AB及BC的长．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知抛物线 ．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值．
20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？
21．已知： 如图，在Rt△AB C中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BC=2，cos∠ABC 时，求⊙O的半径．
22．已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF
＝45°．
（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；
（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）点C（n，1）在反比例函数 的图象上，求△AOC的面积；
（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
24.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC，AD =AE．连接 BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．
（1）如图1，求证：BD⊥CE；
（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线；
（3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长.
25．如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2） 若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．
昌平区2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C D D B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案 （2，1） m＞-1
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式 …………………………4分
． ……………………………………5分
14．解法一：∵ ， ， ，
∴ ……………………………………2分
∴ ． ………………… …………………3分
∴ 原方程的根为： ……………………………………5分
解法二： ．
． ………………………………………1分
． ………………………………………2分
． ………………………………………3分
∴ ， ． ………………………………………5分
解法三： ………………………………………2分
，或 ． ………………………………………3分
∴ ， ． ………………………………………5分
15．解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形． ……………3分
（2） = π． ……………………………5分
16．解：（1）∵ 反比例函数 经过A(-１，4)，B(2，m)两点，
∴ 可求得k =-4，m =-2．
∴ 反比例函数的解析式为 ．
B(2，-2)． ……………………………………2分
∵ 一次函数 也经过A、B两点，
∴
解得
∴ 一次函数的解析式为 ． ……………………………………3分
（2）如图，-1＜x＜0，或x＞2． ……………………………………5分
17．解：∵ 在△ABC中，∠B =90o，
∴ ∠A +∠ACB = 90o．
∵ AC⊥CE，
∴ ∠ACB +∠ECD =90o．
∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2分
∵ 在△ABC和△CDE中，
∠A=∠ECD，∠B=∠D=90o，
∴ △ABC∽△CDE． ……………………………………3分
∴ ． ……………………………………4分
∵ AB = 3，DE =2，BC =6，
∴ CD =1． ……………………………………5分
18．解：（1）∵ 在△ACD中， ，CD= ，AC=3，
∴ ．
∴ ∠DAC =30o． ……………………………………1分
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC =2∠DAC =60o． ……………………………2分
∴ ∠B =30o． …………………………………………3分
(2) ∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30o，AC=3，
∴ AB =2AC =6． ……………………………………4分
． ……………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19 （1）证明：∵ △= …………………………………… 1分
=
=1＞0，
∴ 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． …………………………… 2分
（2）解：∵ 此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，
∴ ． ………………………………………………………… 3分
∴ ．
∴ ， ． ………………………………………………………… 5分
∴ 的值为 或1．
20．解：如图，作CD⊥AB于点D．
∴ ∠ADC=90°．
∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°，
∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°．
∵ 在Rt△DBC中，∠DCB=45°，
∴ DB=DC． 2分
∵ 在Rt△DAC中，∠DAC=30°，
∴ AC=2CD． 3分
∵ 在Rt△DAC中，∠ADC=90°，AB=8，
∴ 由勾股定理，得 ．
∴ ． ……………………………………… 4分
∴ ．
∵ 不合题意，舍去．
∴ ．
∴ 有金属回声的点C的深度是( )米． ……………………………… 5分
21（1）证明： 如图，连结 ．
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ,
∴ ．
∴ ． …………………………．．1分
∴ ．
∴ °．
∴ ．
∵ 是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线． …………………………………………………………………2分
（2）解：在Rt△ACB中， ，BC=2 , cos∠ABC ,
∴ ． …………………………………………………… 3分
设 的半径为 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
解得 ．
∴ 的半径为 ． ………………………………………………………… 5分
22． 解：（1）如图1． ………………………… 1分
（2）猜想tan∠ADF的值为 ．……………………2分
求解过程如下:
如图2.
在BA的延长线上截取AG=CE,连接DG．
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF= ∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°．
∴ ∠GAD = 90°．
∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3分
∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE．
∵ ∠FDE=45°,
∴ ∠ADF+∠EDC=45°．
∴ ∠ADF+∠GDA =45°．
∴ ∠GDF=∠EDF ．
∵ DF = DF，
∴ ∠GDF≌∠EDF ． ……………………………… 4分
∴ GF =EF．
设AF=x, 则FB=6-x,
∵ 点E为BC的中点,
∴ BE=EC=3．
∴ AG=3．
∴ FG=EF=3+x．
在Rt△BEF中，∠B =90°，
由勾股定理，得 ,
∴ ．
∴ x=2．
∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5分
∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF= ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数 的图象上，
∴ m=3．
∴ 点A的坐标为（1，3）． ………………………………………………………1分
∵点A（1，3）在反比例函数 的图象上 ，
∴ k =3．
∴反比例函数 的表达式为 ． …………………………………………2分
（2）∵点C（n，1）在反比例函数 的图象上，
∴ n=3．
∴ C（3，1）．
∵ A(1,3），
∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5分
（3）所有符合条件的点P的坐标：
P1( ，0)，P2( ，0)． ……………………………………………7分
24．（1）证明：如图1．
∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∴ △CAE≌△BAD． …………………………………… 1分
∴ ∠ACF=∠ABD．
∵ ∠ANC=∠BNF，
∴ ∠BFN=∠NAC=90°．
∴ BD⊥CE． …………………………………… 2分
（2）证明：如图1’．
作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．
由（1）知 △CAE ≌△BAD，
∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ． ………………… 3分
∴ AG = AK．
∴ 点A在∠CFD的平分线上． ………… 4分
即 FA是∠CFD的平分线．
（3）如图2．
∵ ∠BAC = 90°，AB =AC，
∴ ∠ACB=∠ABC =45°．
∵ ∠BCE=15°，
∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN．
在Rt△ACN中
∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，
∴ ． …………………………………… 5分
∵ AB=AC=2，
∴ BN= 2- ． …………………………………… 6分
在Rt△ACN中
∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，
∴ ．
∴ ． …………………………………… 7分
25．解：（1）∵ 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），
∴
解得
∴ 二次函数的解析式为y= -x2 +x +2． ………………………………………2分
（2）如图1.
∵二次函数的解析式为y=-x2+x+2与y轴相交于点C，
∴ C(0，2)．
设 E(a,b)，且a 0．
∵ A（-1，0），B（2，0），
∴ OA=1，OB=2，OC=2．
则S四边形ABEC= =
∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点，
∴ b = -a2 +a +2，
∴ S四边形ABEC = - a2+2a+3
= -（a -1）2+4
∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1,2），且四边形ABEC的最大面积为4．
………………………………………………5分
（3）如图2.
设M(m,n)，且m0．
∵ 点M在二次函数的图象上，
∴ n =-m2 +m +2．
∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，
∴ ∠MDC =90°．
∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，
∴ ，或 ． …………………………………6分
①当n 2时， ．
解得 m1=0(舍去)，m2= ， 或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)．
②同理可得，当n2 时，m1=0(舍去) ，m2= ，或m3=0（舍去），m4=3．
综上，满足条件的点M的坐标为（ ， ），（ ， ），（3，-4）． ……………8分